高等代数【北大版】7.4

§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵§7.4特征值与特征向量一、特征值与特征向量二、特征值与特征向量的求法§7.4特征值与特征向量三、特征子空间四、特征多项式的有关性质§7.4特征值与特征向量从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵?引入有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质，§7.4特征值与特征向量设是数域P上线性空间V的一个线性变换，则称为的一个特征值，称为的属于特征值00(),一、特征值与特征向量定义：若对于P中的一个数存在一个V的非零向量,0,使得的特征向量.0§7.4特征值与特征向量①几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，00()()()()kkkk注：相同或相反0(0)0(0).0()0,0.时②若是的属于特征值的特征向量，则0也是的属于的特征向量.(,0)kkPk0但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若且，则()().§7.4特征值与特征向量设是V的一组基，12dim,,,,nVn线性变换在这组基下的矩阵为A.12,,,n下的坐标记为010,nxx二、特征值与特征向量的求法分析：设是的特征值，它的一个特征向量在基0则在基下的坐标为()010,nxAx12,,,n§7.4特征值与特征向量而的坐标是00100,nxx0010100,nnxxAxx于是0()又0010()0.nxEAx从而0100,0,nxx又即是线性方程组的解，010nxx0()0EAX∴有非零解.0()0EAX所以它的系数行列式00.EA§7.4特征值与特征向量以上分析说明：若是的特征值，则00.EA0反之，若满足0P00,EA则齐次线性方程组有非零解.0()0EAX若是一个非零解，0()0EAX01020(,,,)nxxx特征向量.则向量就是的属于的一个0110nnxx0§7.4特征值与特征向量设是一个文字，矩阵称为,nnAPEA111212122212...............()nnnnnnAaaaaaaEAaaaf称为A的特征多项式.1.特征多项式的定义A的特征矩阵，它的行列式（是数域P上的一个n次多项式）()Af§7.4特征值与特征向量②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：①若矩阵A是线性变换关于V的一组基的矩阵，而是的一个特征值，则是特征多项式0()Af0的根，即0()0.Af的一个特征值.反之，若是A的特征多项式的根，则就是00（所以，特征值也称特征根.）而相应的线性方程组的非零解也就()0EAX称为A的属于这个特征值的特征向量.§7.4特征值与特征向量i)在V中任取一组基写出在这组基下12,,,,n就是的全部特征值.ii)求A的特征多项式在P上的全部根它们EA2.求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵A.iii)把所求得的特征值逐个代入方程组()0EAX的全部线性无关的特征向量在基下的坐标.)并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值12,,,n§7.4特征值与特征向量1,1,2,,niijjjcir则就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量.0而1122,rrkkk（其中，不全为零）12,,,rkkkP就是的属于的全部特征向量.0111212122212(,,,),(,,,),,(,,,)nnrrrnccccccccc如果特征值对应方程组的基础解系为：0§7.4特征值与特征向量对皆有(0),V().Kk().nEkEk所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是故数乘法变换K的特征值只有数k，且§7.4特征值与特征向量122212,221A解：A的特征多项式122212221EA2(1)(5)例2.设线性变换在基下的矩阵是123,,求特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）121,5§7.4特征值与特征向量把代入齐次方程组得1()0,EAX123123123222022202220xxxxxxxxx即1230xxx它的一个基础解系为：(1,0,1),(0,1,1)因此，属于的两个线性无关的特征向量为1113223,而属于的全部特征向量为1112212,(,)kkkkP不全为零§7.4特征值与特征向量因此，属于5的一个线性无关的特征向量为把代入齐次方程组得5()0,EAX解得它的一个基础解系为：(1,1,1)3123而属于5的全部特征向量为3333,(,)kkPk0123123123422024202240xxxxxxxxx§7.4特征值与特征向量三、特征子空间定义：00V再添上零向量所成的集合，即000()()()()设为n维线性空间V的线性变换，为0的一个特征值，令为的属于的全部特征向量0V0则是V的一个子空间,称之为的一个特征子空间.0V00()()()()kkkk00,VkV§7.4特征值与特征向量注：的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于的0若在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则00dim()VnEA秩即特征子空间的维数等于齐次线性方程组0V0()0EAX(*)全部线性无关的特征向量就是的一组基.0V§7.4特征值与特征向量四、特征多项式的有关性质1.设则A的特征多项式,nnijAaP111212122212...............nnnnnnaaaaaaEAaaa11221()(1)nnnnnaaaA由多项式根与系数的关系还可得②A的全体特征值的积＝.A①A的全体特征值的和＝1122.nnaaa称之为A的迹,记作trA.§7.4特征值与特征向量证:设则存在可逆矩阵X，使得,AB1BXAX11XEXXAX1()XEAX1XEAX2.(定理6)相似矩阵具有相同的特征多项式.1EBEXAX于是，EA§7.4特征值与特征向量注：②有相同特征多项式的矩阵未必相似.成是矩阵A的特征值与特征向量.它们的特征多项式都是，但A、B不相似.2(1)多项式；而线性变换的特征值与特征向量有时也说因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换的特征①由定理6线性变换的特征值与基的选择无关.如1011,0101AB§7.4特征值与特征向量设为A的特征多项式,则,()nnAPfEA11221()()(1)0.nnnnnfAAaaaAAE证:设是的伴随矩阵，则()BEA3.哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理()()()BEAEAEfE都是λ的多项式，且其次数不超过n－1.又的元素是的各个代数余子式，它们()BEA因此，可写成()B零矩阵§7.4特征值与特征向量120121()nnnnBBBBB其中，都是的数字矩阵.011,,,nBBBnn再设111()nnnnfaaa则，111()nnnnfEEaEaEaE①而1201021()()()()nnnBEABBBABBA121()nnnBBABA②比较①、②两式，得§7.4特征值与特征向量01012121211nnnnnBEBBAaEBBAaEBBAaEBAaE③以依次右乘③的第一式、第二式、1,,,,nnAAAE…、第n式、第n＋1式，得01110121221221211nnnnnnnnnnnnnBAABABAaABABAaABABAaABAaE④§7.4特征值与特征向量把④的n＋1个式子加起来，即得121120nnnnnAaAaAaAaE()0.fA4.设为有限维线性空间V的线性变换，是()f()0.f的特征多项式，则零变换§7.4特征值与特征向量例3.设求102011,010A8542234.AAAAE3()21fEA解：A的特征多项式用去除得()f8542234(),g532()()(245914)gf2(243710)§7.4特征值与特征向量()0,fA85422234243710AAAAEAAE348260956106134§7.4特征值与特征向量练习1：已知为A的一个特征值，则,nnAP（1）必有一个特征值为;()kAkP（2）必有一个特征值为;()mAmZ（3）A可逆时，必有一个特征值为;1A（4）A可逆时，必有一个特征值为.*Akm1A（5）则必有一个特征值为.()[],()fxPxfA()f§7.4特征值与特征向量行列式＝.B练习2：已知3阶方阵A的特征值为：1、－1、2，则矩阵的特征值为：，322BAA1,3,00