高等代数【北大版】9.2

§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§8酉空间介绍§7向量到子空间的距离─最小二乘法小结与习题第九章欧氏空间§5子空间§9.2标准正交基一、正交向量组§9.2标准正交基二、标准正交基三、正交矩阵§9.2标准正交基设Ｖ为欧氏空间，非零向量12,,,,mV①若则是正交向量组.0,②正交向量组必是线性无关向量组.一、正交向量组定义：如果它们两两正交，则称之为正交向量组.注：§9.2标准正交基证：设非零向量两两正交.12,,,mV令11220,,mmikkkkR则11(,)(,)(,)0mmijjjijiiijjkkk由知0i(,)0,ii0,1,2,,.ikim故线性无关.12,,,m§9.2标准正交基④维欧氏空间中正交向量组所含向量个数.nn③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．12(,)10.12(1,1,0),(1,0,1)例如：中3R线性无关．但不是正交向量组.12,§9.2标准正交基1.几何空间中的情况3R在直角坐标系下(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ijk是由单位向量构成的正交向量组，即二、标准正交基(,)(,)(,)0,ijjkki,,ijk是的一组基.3R||||||1ijk§9.2标准正交基设3111222,xiyjzkxiyjzkR①从111(,),(,),(,)ixjykz②121212(,)xxyyzz③222111||xyz(,)(,)(,)iijjkk得④121212222222111222,arccosxxyyzzxyzxyz即在基下，中的与内积有关的度量性质有,,ijk3R简单的表达形式.§9.2标准正交基维欧氏空间中，由个向量构成的正交向量组nn称为正交基；2.标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为标准正交基.注：①由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基.§9.2标准正交基②维欧氏空间V中的一组基为标准正交基n1,,n③维欧氏空间V中的一组基为标准正交基n1,,n当且仅当其度量矩阵(,).ijnAE1(,),1,2,,0ijijijnij，(1)④维欧氏空间V中标准正交基的作用:n设为V的一组标准正交基，则1,,n§9.2标准正交基(i)设1122nnxxxV由(1)，(,).iix(ii)11221(,)nnniiixyxyxyxy(3)这里1122nnxxx，1122.nnyyy(iii)221||nxx1122(,)(,)(,)nn有(2)§9.2标准正交基(定理1)维欧氏空间中任一个正交向量组都能n扩充成一组正交基.证：设欧氏空间Ｖ中的正交向量组，12,,,m对作数学归纳法．nm当时,0nm3.标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程12,,,m就是一组正交基了.1）§9.2标准正交基12,,,k使1212,,,,,,,mk假设时结论成立，即此时可找到向量nmk成为一组正交基.现在来看的情形.1(1)nmk所以必有向量不能被线性表出，12,,,m11122mmmkkk,mn因为作向量待定．ikR(0)§9.2标准正交基从正交向量组的性质知1(,)(,)(,),1,2,,.imiiiikim于是取(,)1,2,,,(,)iiiikim,1(,)01,2,,.imim,即为正交向量组．121,,,,mm由归纳法假设知，对这个向量构成的正交组1m可得可扩充得正交基.于是定理得证．§9.2标准正交基2）都可找到一组标准正交基使12,,,,n1212(,,,)(,,,),1,2,,iiLLin证：12,,,.n基本方法─逐个构成出满足要求的(定理2)对于维欧氏空间中任一组基12,,,nn首先，可取1111.||§9.2标准正交基一般地，假定已求出是单位正交的，且12,,,m1212(,,,)(,,,),1,2,,iiLLim(4)当时，因为有mn112(,,,),mmL由(4)知不能被线性表出．1m12,,,m按定理1证明中的方法，作向量111122,mmmmkkk1(,)(,)miiiik1111(,)mmmmiii(5)即§9.2标准正交基再设1111.||mmm可知是单位正交向量组．121,,,,mm从(4)和(5)知与121,,,,mm121,,,,mm是等价向量组，因此，有121121(,,,)(,,,)mmLL由归纳原理，定理2得证.则且110(,)0,1,2,,mmiim§9.2标准正交基则过渡矩阵是上三角形（即）()ijTt0,ijtij注：0,1,2,,iitin且①由1212(,,,)(,,,),1,2,,iiLLin1212(,,,)(,,,),nnT知，若§9.2标准正交基②Schmidt正交化过程:11,11(,),2,3,,;(,)jjijjiiiijm1,1,2,,||iiiim12,,,.m化成正交向量组先把线性无关的向量组1,,m1再单位化得标准正交向量组12,,,.m22122111(,),(,)§9.2标准正交基例1.把12(1,1,0,0),(1,0,1,0),34(1,0,0,1)(1,1,1,1)变成单位正交的向量组.11(1,1,0,0)2122111(,)(,)313233121122(,)(,)(,)(,)解：令43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)(1,1,1,1)正交化11(,,1,0)22111(,,,1)333§9.2标准正交基1111||2221||再单位化3331||4441||即为所求．1234,,,11(,,0,0)22112(,,,0)6661113(,,,)121212121111(,,,)2222§9.2标准正交基例2.在中定义内积为4[]Rx11(,)()()fgfxgxdx求的一组标准正交基．4[]Rx(由基出发作正交化)231,,,xxx解:取2312341,,,xxx正交化1111§9.2标准正交基1211(,)0,xdx2122111(,)(,)123112(,),3xdx1111(,)2,dx13321(,)0,xdx22333121023x22x313233121122(,)(,)(,)(,)§9.2标准正交基13411(,)0,xdx144212(,),5xdx122212(,),3xdx1324311(,)()0,3xxdx43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)335xx25441232300§9.2标准正交基122||2||6,,1222331184(,)()(),345310xdx1322441384(,)()(),5175514xxdx2单位化122212(,),3xdx1111(,)2,dx3444||,||.310514§9.2标准正交基于是得的标准正交基4[]Rx11112,||222216||2x2333110(31)||2x3444114(53)||4xx§9.2标准正交基设与是维欧氏空间V中的1212,,,,,,nnn两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是(),ijnnAa即1212(,,,)(,,,)nnA4.标准正交基间的基变换1122,1,2,,iiininaaain或由于是标准正交基，所以12,,,n（6）1(,),1,2,,0ijijijnij，§9.2标准正交基由公式（3），有11221(,)0ijijijninjijaaaij，（7）把A按列分块为12,,,nAAAA由（7）有1212,,,nnnAAAAAAAEA（8）§9.2标准正交基则称A为正交矩阵.2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.三、正交矩阵1．定义AAE(),nnijAaR设若Ａ满足2．简单性质1）A为正交矩阵1.A§9.2标准正交基3）设是标准正交基，A为正交矩阵，若12,,,n则也是标准正交基.12,,,n1212(,,,)(,,,)nnA4）为正交矩阵nnARA的列向量组是欧氏空间的标准正交基.nR6）为正交矩阵nnARA的行向量组是欧氏空间的标准正交基.nR5）为正交矩阵nnAR1.AA