高等代数【北大版】1.2

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式§1.2一元多项式一、一元多项式的定义二、多项式环§1.2一元多项式1．定义个非负整数，形式表达式设是一个符号（或称文字），是一xn1110nnnnaxaxaxa称为数域P上的一元多项式．其中01,,,naaaP等表示．常用(),(),()fxgxhx一、一元多项式的定义§1.2一元多项式系数，n称为多项式的次数，记作()fx(()).fxn=③若，即，则称之010naaa()0fx为零多项式．零多项式不定义次数．区别：零次多项式(),0,fxaa多项式中，1110()nnnnfxaxaxaxa称为i次项，称为i次项系数．iiax①ia注：②若则称为的首项，为首项()fxnnax0,nana零多项式()0fx(())0.fx=§1.2一元多项式2．多项式的相等若多项式与的同次项系数全相等，则()fx()gx称与相等，记作()fx()gx()().fxgx即，1110(),mmmngxbxbxbxb()(),,0,1,2,,.iifxgxmnabin1110(),nnnnfxaxaxaxa§1.2一元多项式3．多项式的运算：加法（减法）、乘法11100(),iinnnnnifxaxaxaxaax11100(),jjmmmmmjgxbxbxbxbbx加法：若在中令,nm()gx110nnmbbb则0()()().iiniifxgxabx0()()()iiniifxgxabx减法：§1.2一元多项式10100()oababxab1()nmiijsijsabx()()fxgx中s次项的系数为11110.sosssijijsababababab注:乘法：()()fxgx111()nmnmnmnmnmabxababx§1.2一元多项式4．多项式运算性质1)为数域P上任意两个多项式，则()()fxgx()(),()()fxgxfxgx仍为数域P上的多项式．2)(),()[]fxgxPx①(()())max((()),()))fxgxfxgx②若()0,()0,fxgx则()()0,fxgx且(()())(())(())fxgxfxgx()()0fxgx§1.2一元多项式()()fxgx的首项系数()fx的首项系数×()gx的首项系数.3)运算律()()()()fxgxgxfx(()())()()(()())fxgxhxfxgxhx()()()()fxgxgxfx(()())()()(()())fxgxhxfxgxhx()(()())()()()()fxgxhxfxgxfxhx()()()(),()0()()fxgxfxhxfxgxhx§1.2一元多项式例1设(),(),()()fxgxhxRx(1)证明:若222()()(),fxxgxxhx则()()()0fxgxhx=(2)在复数域上(1)是否成立？§1.2一元多项式(1)证：若()0,fx则222(()())()0,xgxhxfx于是2222(()())((()()))xgxxhxxgxhx为奇数.故()0,fx从而22()()0.gxhx从而22()()0.gxhx2(())fx但为偶数.这与已知矛盾.222(()())(),xgxhxfx§1.2一元多项式(2)在C上不成立．如取()0,(),()fxgxixhxx从而必有()()0.gxhx()()()0.fxgxhx又均为实系数多项式，(),()fxgx§1.2一元多项式所有数域P中的一元多项式的全体称为数域P上的一元多项式环，记作[].PxP称为的系数域．[]Px二、多项式环定义