2009年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题及参考答案

12009年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题及参考答案摘要：(文专类)一,计算题(每小题12分,满分60分)1.求极限解=2.计算不定积分解==3.设,求解=4.设,,求此曲线的拐点解,,令得当时,...关键词：微积分,积分类别：专题技术来源：牛档搜索（Niudown.COM）2本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！32009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题及参考答案（文专类）一、计算题（每小题12分，满分60分）1.求极限211limsinnniiinn解211limsinnniiinn=10sinxxdx=101cosxdx=11001(coscos)xxxdx=1011(1sin)x=12．计算不定积分1xdxxx解1xdxxx=413dxx=413xxC3．设2100()(tan1)[(tan2)(tan100)]444xxxfxL，求(1)f解2100()(tan1)[(tan2)(tan100)]444xxxfxL21002()sec[(tan2)(tan100)]4444xxxfxL42100(tan1)[(tan2)(tan100)]444xxxL2(1)sec[(12)(1100)]44fL=99!24．设cotcos2sinxttyt，(0,)t，求此曲线的拐点解csccot2cosdytttdt，2cscdxtdt2cos(12sin)dyttdx，2323sincos2dyttdx令220dydx得123,44tt当04t时，220dydx，当344t时，220dydx，当34t时，220dydx，因此拐点为(1,0),(1,0)5．已知极限2120lim()1xxxeaxbx，求常数的值,ab解2120lim()xxxeaxbx=2201lim(1)xxeaxbxxe=0(2)lim2xxeaxbxe=1于是0lim(2)0xxeaxb，1b由0(2)lim02xxea，得12a5另解222211122100lim()lim(11)xxeaxbxxxxeaxbxxxxeaxbxeaxbx2201limxxeaxbxxe＝12222220011()112limlimxxxxxoxaxbxeaxbxxx22201(1)()()12lim0,12xbxaxoxabx二、（满分20分）设(0)0,0()1ffx，证明：当0x时，2300(())()xxftdtftdt证设2300()(())()xxFxftdtftdt则(0)0F，20()()[2()()]xFxfxftdtfx，由(0)0f且0()1fx，知当0x时，()0fx。又设20()2()()xgxftdtfx则(0)0,()2()[1()]0ggxfxfx，所以()0Fx,从而()(0)FxF,不等式得证.三、（满分20分）设211()||tgxxtedt，求6()gx的最小值证当1x时，210()2tgxxedt，，210()20tgxedt，故当1x时()gx单调增加；当1x时，210()2tgxxedt，210()20tgxedt故当1x时()gx单调减少；当11x时，2211()()()xttxgxxtedttxedt22221111xxttttxxxedttedttedtxedt，2211()xttxgxedtedt=2xtxedt。由()0gx得0x。当10x时，()0gx，当01x时，()0gx，故0x是()gx的极小值点，又21100(1)(1)222tggedtdt221100(0)2|ttgtedte=1e，故()gx的最小值为(0)1ge四、（满分20分）2220sin(sin)xxVexdxexdx2220(cos2sin)(cos2sin)55xxexxexx=22(1)5e五、（满分15分）设()Ft20ln(12cos)txtdx，证明：7（1）()Ft为偶函数；（2）2()2()FtFt证（1）20()ln(12cos)Fttxtdx20ln(12cos)xuuxudx20ln(12cos)txtdx()Ft（2）2()()()FtFtFt=22220ln[(1)4cos)]ttxdx240ln(12cos2)txtdx22221ln(12()cos())2xytytdy2220ln(12()cos())tytdy2()Ft2()Ft六、（满分15分）设f为连续函数，且0()1fx，证明在[0,1][上方程02()1xxftdt有唯一解证设0()2()1xFxxftdt，则()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)10F10(1)1()Fftdt，当()1fx时，(1)0F，1x是方程02()1xxftdt的解；当0()1fx时，10(1)1()0Fftdt，由零点定理，得至少存在一点(0,1)使()0F，即方程02()1xxftdt至少有一解。又()2()0Fxfx，故()Fx在[0,1]上严格单8调递增，因此在[0,1]上方程02()1xxftdt有唯一解