2009年漳州市高中数学竞赛(试卷)

12009年漳州市高中数学竞赛（高二年）一、填空（本大题共10小题，每小题7分，满分70分，请直接将答案写在题中的横线上）1.已知，圴为锐角，且满足2sin=cos(－)，则与的关系是2.设12F,F为椭圆221259xy的两个焦点，P为椭圆上任意一点，则12FFPP的最大值与最小值的和为3.空间四边形的两组对边的平方和相等，则它的两条对角线所成的角为4.长度为18的线段随机地分成三段，这三段能够构成三角形的概率为5.若函数22sin2cos()2cosxxxfxxx在区间,(0)lll上的值域为,nm，则mn=6.若数列na是单调递增数列，且1132nnnaa，1,2,3,n；则首项0a的值等于7.不等式22429(112)xxx的解集为8.x表示不大于x的最大整数，则方程219992xxx的实数解x是9.在RtABC中，已知(2,3),(1,)ABACk，则k的值为10.已知集合M是满足下列性质的函数()fx的全体：存在非零常数T，对任意xR，恒有()()fxTTfx成立，现有函数()sinfxkxM，则实数k的取值范围是二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，满分80分，要求写出解答过程）11.对于函数()fx，若存在0xR，使得00()fxx成立，则称点00(,)xx为函数()fx的不动点。（1）令()(())gxffx，求证：点00(,)xx是函数()fx的不动点，则点00(,)xx必是()gx的不动点。（2）若对于任意实数b，函数2()fxaxbxb总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围。2（3）若定义在R上的奇函数()fx存在n个不动点，则n必为奇数。12.过椭圆221259xy内一点(3,2)M，作直线AB与椭圆交于点A、B，作直线CD与椭圆交于C、D，过A、B分别作椭圆的切线交于点P，过C、D分别作椭圆的切线交于点Q，求P、Q连线所在的直线方程。、13.设12,,,,nPPP是曲线yx上的点列，12,,,,nQQQ是x正半轴上的点列，且1112223311,,,,,nnnOQPQQPQQPQQP均是等边三角形，又设它们的边长分别是12,,,,naaa；nS是数列na的前n项和，求nS。14.设,,xyzR且1xyz，求三元函数222222333(,,)111xxyyzzfxyzxyz的最小值，并给予证明。QPMOyxDCBAPnP3P2P1OQ1Q2Q3Qn-1Qnyx32009年漳州市高中数学竞赛（高二年）一、填空（本大题共10小题，每小题7分，满分70分，请直接将答案写在题中的横线上）1.已知，圴为锐角，且满足2sin=cos(－)，则与的关系是2.设12F,F为椭圆221259xy的两个焦点，P为椭圆上任意一点，则12FFPP的最大值与最小值的和为343.空间四边形的两组对边的平方和相等，则它的两条对角线所成的角为90°4.长度为18的线段随机地分成三段，这三段能够构成三角形的概率为0.255.若函数22sin2cos()2cosxxxfxxx在区间,(0)lll上的值域为,nm，则mn=26.若数列na是单调递增数列，且1132nnnaa，1,2,3,n；则首项0a的值等于157.不等式22429(112)xxx的解集为145,00,288.x表示不大于x的最大整数，则方程219992xxx的实数解x是18115783838xx或9.在RtABC中，已知(2,3),(1,)ABACk，则k的值为211313,,33210.已知集合M是满足下列性质的函数()fx的全体：存在非零常数T，对任意xR，恒有()()fxTTfx成立，现有函数()sinfxkxM，则实数k的取值范围是,kkmmZ二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，满分80分，要求写出解答过程）11.对于函数()fx，若存在0xR，使得00()fxx成立，则称点00(,)xx为函数()fx的不动点。（1）令()(())gxffx，求证：点00(,)xx是函数()fx的不动点，则点00(,)xx必4是()gx的不动点。（2）若对于任意实数b，函数2()fxaxbxb总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围。（3）若定义在R上的奇函数()fx存在n个不动点，则n必为奇数。证明（1）：由不动点的定义知00()fxx，从而00()(())gxffx=00()fxx00(,)xx是()gx的不动点。（2）由条件知，方程()fxx有两个不等实根，即2(1)0axbxb有两个不等实根，2(1)40bab恒成立，即对任意实数b，2(42)10bab恒成立。2(42)40a，即16(1)0aa，解得01a。（3）由于()fx是定义在R上的奇函数，从而(0)0f，即(0,0)是()fx的一个不动点。若()fx有异于零的不动点00(,)xx，0(0)x则有00()fxx，从而000()()fxfxx，即00(,)xx亦是()fx的不动点，()fx的非零不动点均为成对出现，共有2k个，由于(0,0)是()fx的不动点，()fx的不动点共有21k个。12.过椭圆221259xy内一点(3,2)M，作直线AB与椭圆交于点A、B，作直线CD与椭圆交于C、D，过A、B分别作椭圆的切线交于点P，过C、D分别作椭圆的切线交于点Q，求P、Q连线所在的直线方程。解：如图，过点A、B、C、D的切线方程分别为:1,259AAPAxxyyl:1,259BBPBxxyylQPMOyxDCBA5:1,259CCQCxxyyl:1,259DDQDxxyyl因点(,)PPPxy在PA，PB上，则(,)PPPxy在PA，PB上，则1,259APAPxxyy1,259BPBPxxyy这表明(,),(,)AABBAxyBxy在直线1259PPxxyy上。由于两点决定一直线，ABl为1259PPxxyy，同理，CD所在的直线方程为1259QQxxyy，因为AB与CD相交于(3,2)M所以M点坐标分别满足AB，CD直线方程，因此321,259PPxy321259QQxy。这表明P、Q在直线321259xy上，由两点决定一条直线知，PQ所在直线方程为321259xy。13.设12,,,,nPPP是曲线yx上的点列，12,,,,nQQQ是x正半轴上的点列，且1112223311,,,,,nnnOQPQQPQQPQQP均是等边三角形，又设它们的边长分别是12,,,,naaa；nS是数列na的前n项和，求nS。解：如图，1nQ的坐标为11,(0)nnQS，直线1nnQP的方程为13()nyxS，因此点nP的坐标满足13()nyxSyx，消去x得，21330nyyS0y1111223nSy又sin60nya，故131112nnaS从而21(31)112nnaS，PnP3P2P1OQ1Q2Q3Qn-1Qnyx621324nnnaaS从而211324nnnaaS两式相减得22113()2()4nnnnnaaaaa11()3()20nnnnaaaa已知0na123nnaa，因此na是以23为公差的等差数列。易得：123a，故1(1)1(1)23nnnSnadnn14.设,,xyzR且1xyz，求三元函数222222333(,,)111xxyyzzfxyzxyz的最小值，并给予证明。证明：构造函数2()1tgtt，(0,1)t则1()1gttt由于01t时，1tt单调递减，故()gt在(0,1)内单调递增。对于12xx且12,(0,1)xx有1212()(()())0xxgxgx取1=01xx（，），21=3x得213()()03110xxx即22(3)1(31)03(1)10xxxx2233(31)110xxxx同理有2233(31)110yyyy2233(31)110zzzz从而2222223333(,,)3()311110xxyyzzfxyzxyzxyz1xyz故(,,)0fxyz当13xyz时(,,)0fxyz故所求最小值为0.