2009年高一数学基础知识讲义(7)立体几何二

第七讲立体几何二——立体几何之空间几何体与空间坐标系知识要点一：棱柱、棱锥、棱台的结构特征⑴多面体的结构特征：多面体是由若干个平面多变形所围成的几何体，各个多边形叫做多面体的面，相邻面的公共边叫做多面体的棱，棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。⑵棱柱：（棱柱有两个互相平行的面，夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都相互平行）①棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；棱柱的两底面之间的距离叫做棱柱的高。②棱柱的分类：棱柱的分类有两种一是：底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……二是：分为斜棱柱和直棱柱。进一步说：侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。特别地，有一些特别的四棱柱我们这里也和大家强调一下：底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长相等的长方体是正方体。③面积与体积：Schch直棱柱侧面积底面多边形周长，直棱柱的高全面积或表面积的等于侧面积与底面积的和。VShSh柱底面积，高⑶棱锥：①定义：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共点的三角形。②棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高。③棱锥的分类：底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥。正棱锥各个侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高。特别地，当三棱锥各个棱长均相等时我们叫它正四面体。④面积与体积：''12Schch正棱锥侧面积底面多边形周长，斜高全面积或表面积的等于侧面积与底面积的和。13VShSh锥底面积，高⑷棱台：①定义：棱锥被平行与底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台。②原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面，上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高。③由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高。④面积与体积：''''1,2Scchcch正棱台侧面积分别为梯形上下底面的周长，为斜高全面积或表面积的等于侧面积与底面积的和。'''1,3VhSSSSSSh柱为上下底底面积，是台体的高圆柱、圆锥、圆台和球⑴通过我们对几何体的观察，我们可以将圆柱、圆锥、圆台看作是以矩形的一边，直角三角形的直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体。其中旋转轴叫做所围成几何体的轴；在轴上的这边叫几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做几何体的底面；不垂直轴的边旋转而成的曲面叫做几何体的侧面，这条边叫几何体的母线。至于这三种几何体的体积我们可以参考棱柱、棱锥、棱台。⑵球：①球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所围成的曲面，球面围成的几何体，叫做球。②球面被经过球心的平面截得的圆叫球大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫球小圆。③球面距离：(ABdRRAB过球面上两点球大圆所对的劣弧长为球半径，劣弧所对的球心角）④面积与体积：2344,3SRVR空间直角坐标系⑴空间直角坐标系的规定：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合。这时我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点。⑵空间两点距离公式：222111222121212,,,,,,,AxyzBxyzdABxxyyzz这样，有的情况下我们就可以将立体图形放在空间直角坐标系中，在求某两点的距离时，找到它们的坐标带入公求解。考试要求：掌握各个几何体的特征及相关的面积与体积的计算公式，会求解几何体中的证明、计算等问题，求解中注意与几何体性质相结合，一定要培养自己的空间想象力。命题趋向：在这部分知识多以综合大题出现，综合大题中往往出现一题多问，由浅到深的知识渗透，要注意把握题目的特征。例题讲解夯实基础1）.棱长为a的正四面体的高为（）A.a21B.a33C.a36D.a222）直角ABC的两直角边PCACBC,4,3平面ABC且59PC，则P到AB的距离（）A.3B.4C.5D.63）正方形ABCD的边长为12，PA面ABCD，12PA，那么P到BD的距离是（）A.312B.212C.36D.664）在北纬45圈上，有甲乙两地，他们的经度分别是东经50和西经40，则甲乙两地的球面距离（）A.R21B.R31C.R41D.R225）一个球的外切正方体全面积等于26cm，则此球的体积（）A.36cmB.34cmC.38cmD.33cm6）圆O的半径是4，PO垂直于圆O所在的平面，且PPO,3到圆O上各点的距离为____________________.7）用两个平行平面去截表面积为22500cm的球，截面面积分别为22225,49cmcm则两个平行截面距离是_______________.8）有一个正四棱台形状的容器，最多装190升溶液，已知它两底面边长分别是60cm和40cm，则这个容器的深度为______________。能力提升1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（D）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱2.若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是（C）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3.一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的41，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是（B）A．41B．2141C．81D．21814.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（C）A．33aB．43aC．63aD．123a5.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面的尺寸如图所示，两容器内所成的液体的体积相等，液面高度也相等，求液面高度h(用a表示)6．（14分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a．（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论．（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．证法二：连结A1C，则A1C=A1B．∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．（4分）aah2a（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离．在Rt△ADC中，AC=2CD=.23,aADa∴所求的距离.43aACADCDDE（9分）解法二：设点D到平面ACC1的距离为x，∵体积111ACCDACDCVV.21318331112xCCaCCa,43ax即点D到平面ACC1的距离为a43．（9分）（Ⅲ）答：直线A1B//平面ADC1，证明如下：证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，又DF平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．（14分）证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1．（14分）