2009年高考全国卷I数学(文)试题及参考答案

共38页1第二讲参数方程共38页2回归课本共38页31.曲线的参数方程一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y),都是某个变数t的函数①并且对于t取的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做曲线的普通方程.()()xftygt共38页42.直线的参数方程经过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的普通方程是y-y0=(x-x0)tanα,而过M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为参数t的几何意义是表示直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线段M0M的数量.200().xxtcostyytsin为参数共38页53.圆的参数方程圆心为(a,b),半径为r,以圆心为顶点且x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α的参数的圆的参数方程是,.xarcosybrsin共38页64.椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数,椭圆2222,[0,)2](..xacosybsinxyab1ab0的参数方程为共38页7考点陪练共38页81.(2010)cos (t)()A.B.C.D1,23.xtyt湖南极坐标方程和参数方程为参数所表示的图形分别是圆､直线直线､圆圆､圆直线､直线共38页922222:cos,cos,xyx,xxy0,t,3xy10,.A.1,23xtyt解析即表示圆消后得表示直线故选答案:A共38页10222.0t5()A.B.C.D.321xtyt参数方程≤≤表示的曲线是线段双曲线的一支圆弧射线共38页11解析:消去t,得x-3y-5=0.∵0≤t≤5,∴-1≤y≤24.答案:A共38页121122.1.1.13.xy.1t()AxtytBysintysintCxcostycostDxtantytant把方程化为以为参数的参数方程是答案:D共38页1312121( 4.lt),ly3x4,ll________13.xtyt设直线的参数方程为为参数直线的方程为则与间的距离为11222:l3xy20.ll|4(2)|310.53(1)d解析将化为普通方程为与间的距离10:35答案共38页141 5.3x4ym0 (,),m_____2___.xcosysin若直线与圆为参数没有公共点则实数的取值范围是22:,x1y21.|314(2)|1,0.5m0m1m解析消去参数得直线与圆没有公共点解得或答案:(-∞,0)∪(10,+∞)共38页15类型一参数方程的概念解题准备:参数方程与普通方程都是曲线的表示形式,都可以用来解决曲线的问题,用参数方程处理数学问题,关键在于恰当地选择参数.共38页161[02,2).,A(1B2,.)12,3xcosysin【典例】已知参数方程判断点和是否在方程的曲线上[分析]利用参数方程判断时,θ须看有无解,也可利用普通方程来判断.共38页1722222212322212,3 []:AB, [0,2),.A,B.:,xy4.AB1?4,(32154.A,B).cossincossin解解法一把､两点的坐标分别代入方程组得①或②在内①式有解②式无解点在曲线上点不在曲线上解法二将参数方程化为普通方程将、坐标代入得点在曲线上点不在曲线上共38页18类型二参数方程与普通方程的互化解题准备:曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.),()(xftygt共38页192(a,b),1t,,?2t,,?[] (a,b)1sincosxsinycosasinbcos0.cossin,.,,,xatcosybtsinxatcosybtsin【典例】在方程为正常数中当为参数为常数时方程表示何种曲线当为常数为参数时方程表示何种曲线①解方程②是正常数①②得、不同时为零方程表示一条直线共38页20222222222 2t,,xaybt,.t0,a,b.()()1,xacostybsintxaybtt当为非零常数时原方程组为③④③④得即它表示一个圆当时表示点共38页21[反思感悟]把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个是参数,并且要注意x及y的取值范围.共38页22类型三直线的参数方程解题准备:利用直线的参数方程可使有些问题得到简捷的解决,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式,而对于某些比较简单的直线问题比如直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程.共38页23【典例3】已知直线l经过点A(1,2),倾斜角为(1)求直线l的参数方程;(2)求直线l和圆x2+y2=9的两个交点到点A的距离之积.[分析]根据直线参数方程中参数t的几何意义,运用一元二次方程根与系数的关系求解..3共38页24222122212[]1l(t).2xy91,232,23122223)40,,:t(1tt4.tlxy9Att4.txyttxytt解直线的参数方程为为参数将代入得由参数的几何意义得直线与圆的两个交点到点的距离之积为共38页25[反思感悟]涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方程,直线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0).其中k=tanα(α≠90°),α为直线的倾斜角,则参数方程为00(t),.,xxtcosyytsin为参数共38页26类型四圆(椭圆)的参数方程及简单应用共38页27: (), (,,)..xarcosybrsinxacosybsin解题准备圆的参数方程的一般形式是为参数椭圆的参数方程一般形式是为参数这是考生应该熟练掌握的圆与椭圆的参数方程在解决曲线上的点到直线上的点的距离最值时是一个很好的工具共38页2812121234(2009)C (t),C:,().1CC,;2C4:,38PtQC,PQMC?(t)3,23,:.22xcostysintxcosysinxtyt【典例】宁夏已知曲线为参数为参数化､的方程为普通方程并说明它们分别表示什么曲线若上的点对应的参数为为上的动点求中点到直线为参数距离的最小值共38页29[分析](1)曲线C1､C2的参数方程可通过适当变形采用平方消元的方法化为普通方程,然后说明曲线;(2)由中点坐标公式,用参数θ表示出点M的坐标,将直线的参数方程化为普通方程,根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数,转化为求函数的最值.共38页302212123322 []1C:x4y31,CC4,3,1.C,x,8,3.2t,P4,4:1.649;Q8cos,3sin,MCx2y70,MCd4cos3sin13|5cos12324,2.32555c5|xycossin解为圆心是半径是的圆为中心是坐标原点焦点在轴上长半轴长是短半轴长是的椭圆当时且故为直线到的距离从而当4,5385.55ossin,d时取得最小值共38页31[反思感悟]本题综合性地考查参数方程的基础知识和应用,特别是第(2)问设计的十分新颖,题目中的动点M实际上也形成一条曲线,题目的要求就是求这条曲线上的点到直线C3的距离的最小值,这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值.从第(2)问可以看出参数方程在解题中的优越性.另外在(2)问中,如果对于绝对值的函数形式变形不对或认为cos(θ+φ)=-1时取最小值,从而得出错误结论.共38页32错源参数的几何意义不明致误共38页33P,4,23OPxP__,______3.xcosysin【典例】设椭圆上一点使与轴正方向所成角为则点坐标为[]:,x2,y3,P2,3.,PPOx,,.3剖析本题容易产生如下错误认为代入椭圆参数方程得从而事实上若注意对应参数与的关系就可避免此类错误的发生共38页34[]P(4cos,sin),OPxtantan2.sin0,cos23,323,345255545415,.550,cos,sin.Psincos正解设与轴正方向所成的角为即而点坐标为45415,55 []答案共38页3500 [] (),,OPx., (t),t,.,,xacosybsinxxtcosyytsin评析椭圆参数方程为参数的参数有特殊的几何意义即它表示离心角则与轴正方向所成角不同与此类似对于直线参数方程为参数来说要分清是参数而是直线的倾斜角共38页36技法分类讨论共38页3711(0).  1t,,?2,t,?xtsinytcosttt【典例】已知参数方程若为常数为参数方程所表示的曲线是什么若为常数为参数方程所表示的曲线是什么共38页3822222222[]1t1,1,2x.t1,y0,x2sin2,2,x2,2.2(kZ),kkZ,x0,y.k.(kZ),111,12,124401,2yxxyttttttttkxysincostt解时表示中心在原点长轴为短轴为焦点在轴的椭圆当时它表示在轴上的一段线段当当时它表示轴当是双曲线时x2,02,,0.它表示轴上分别以和为端点的向左和向右的两条射线