2009年高考数学二轮复习专题讲座7解析几何(修改)

1《解析几何》二轮复习思考一、考试说明与教学要求回顾1．直线与圆内容要求ABC16．平面解析几何初步直线的斜率和倾斜角√直线方程√直线的平行关系与垂直关系√两条直线的交点√两点间的距离，点到直线的距离√圆的标准方程与一般方程√直线与圆、圆与圆的位置关系√空间直角坐标系√线性规划√（1）理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．（2）掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．（3）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．（4）了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．（5）掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．（6）掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．（7）能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．（8）了解空间直角坐标系；会用空间直角坐标系刻画点的位置．了解空间中两点间的距离公式，并会简单应用．（9）能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．2．圆锥曲线（必）内容要求2ABC17．圆锥曲线与方程中心在坐标原点的椭圆的标准方程和几何性质√中心在坐标原点的双曲线的标准方程和几何性质√顶点在坐标原点抛物线的标准方程和几何性质√（1）掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．（2）了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．（3）了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．3．圆锥曲线（加）（1）了解曲线与方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲线的方程；掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法；进一步体会数形结合的思想方法．（2）掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．4．坐标系与参数方程（1）了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化．（2）了解曲线的极坐标方程的求法；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程．（3）会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．（4）理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用．（5）会进行曲线的参数方程与普通方程的互化．二、近三年高考题中考点分布情况内容要求ABC1．圆锥曲线与方程曲线与方程√顶点在坐标原点的抛物线的标准方程和几何性质√内容要求ABC9．坐标系与参数方程坐标系的有关概念√简单图形的极坐标方程√极坐标方程与直角坐标方程的互化√参数方程√直线、圆及椭圆的参数方程√参数方程与普通方程的互化√参数方程的简单应用√3对近三年的全国各省市的高考题按题目中出现的考点分类统计如下，其中数字表示该考点在30多份试卷中出现的次数．内容考查点06070816．平面解析几何初步理文理文理文1．直线的斜率和倾斜角2112．直线方程1122223．直线的平行关系与垂直关系1212164．两条直线的交点15．两点间的距离，点到直线的距离311216．圆的标准方程与一般方程24711257．直线与圆、圆与圆的位置关系128777118．空间直角坐标系9．线性规划13121111131317．圆锥曲线与方程1．中心在坐标原点的椭圆的标准方程和几何性质1614141614132．中心在坐标原点的双曲线的标准方程和几何性质1316161312153．顶点在坐标原点抛物线的标准方程和几何性质9913131471．圆锥曲线与方程1．曲线与方程8534312．顶点在坐标原点的抛物线的标准方程和几何性质9．坐标系与参数方程1．坐标系的有关概念12．简单图形的极坐标方程1113．极坐标方程与直角坐标方程的互化21114．参数方程245．直线、圆及椭圆的参数方程16．参数方程与普通方程的互化7．参数方程的简单应用从上面可以看出，圆锥曲线考查的最多，其中排列顺序为椭圆、双曲线、抛物线，而与求轨迹有关问题都划为曲线与方程．直线与圆考查内容次之，其中排列顺序为线性规划、直线与圆的位置关系、圆的标准方程与一般方程．而其余内容常以某题中的一个点出现，单独考查的很少．三、二轮复习建议按照问题类型设计专题，把相同问题、相同方法的内容归到一起讲，强化重点知识，突出思维训练．如选用如下专题：（一）求方程问题1．回忆直线的点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式方程，圆的标准方程、一般方程，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，分析各自的基本量个数及相应的几何意义．2．总结求方程的基本方法，直接法与待定系数法．在用直接法求方程时，要注意条件的转4化方向和手段，在用待定系数法求方程时，要注意方程形式的选择标准和一些常用的设方程的技巧．例1．已知直线l经过点P(－1，1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1=0及l2：x＋2y－3=0所截得的线段M1M2的中点M在直线l3：x－y－1=0上，试求直线l的方程．解法一：（1）当直线l斜率不存在时，直线l的方程是x＝－1，与直线l1，l2的交点分别为M1(－1，1)，M2(－1，2)．线段M1M2的中点(－1，32)不在直线l3上，不合．（2）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，分别与l1，l2联列解得M1(－1，1)，M2(1－2k1＋2k，1＋4k1＋2k），线段M1M2的中点为M(－2k1＋2k，1＋3k1＋2k），因为M在直线l3上，代入得，k＝－27．代入得直线l的方程为2x＋7y－5＝0．解法二：因为被两平行直线l1，l2所截线段M1M2的中点在与l1，l2平行且与l1，l2等距离的直线上，而与l1，l2平行且与l1，l2等距离的直线方程为x＋2y－2＝0，又由已知线段M1M2的中点M在直线l3：x－y－1=0上，所以由方程组x＋2y－2＝0，x－y－1=0解得线段M1M2中点M的坐标为(43，13)．从而直线l经过点P(－1，1)和M(43，13)，代入两点式得直线l的方程为2x＋7y－5＝0．解法三：设直线l的参数方程为x=－1＋tcos，y=1＋tsin．其中t为参数，代入直线l1的方程得M1对应参数t1＝0，代入直线l2的方程得M2对应参数t2＝2cos＋2sin，所以线段M1M2中点M对应参数t0＝12(t1＋t2)＝1cos＋2sin，所以M点的坐标为(－2sincos＋2sin，cos＋3sincos＋2sin)，代入直线l3得，－2sincos＋2sin－cos＋3sincos＋2sin＝1，7sin＝－2cos，直线l的斜率k＝sincos＝－27．代入得直线l的方程为2x＋7y－5＝0．例2．已知点A(2，2)，B(3，－1)，C(5，3)，求△ABC内切圆的方程.解：代入两点式得三边的方程分别是AB：3x＋y－8＝0，BC：2x－y－7＝0，CA：x－3y＋4＝0．设△ABC的内心坐标为I(a，b)，则由I到三边的距离相等得∣3a＋b－8∣10＝∣2a－b－7∣5＝∣a－3b＋4∣10，根据I的位置和线性规划知识，可以去绝对值得＋(3a＋b－8)10＝－(2a－b－7)5＝＋(a－3b＋4)10，化简得a＋2b=6，(3＋22)a－(2－1)b=8＋72．解得a＝6－22，b＝2．半径r＝－(2a－b－7)5＝－5－525＝10－5．所以内切圆的方程为(x－6＋22)2＋(y－2)2＝(10－5)2．例3．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长与短轴长的比为2，且过点(－2，yABCx5O322－1I53)，则该椭圆的方程是_______________．解：根据条件可知椭圆为标准方程．（1）当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由条件得2a2b=2，(－2)2a2＋(3)2b2=1．解得a=22，b=2.所求的椭圆方程为x28＋y24＝1．（2）当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由条件得2a2b=2，(3)2a2＋(－2)2b2=1．解得a2=7，b2=72.所求的椭圆方程为y27＋2x27＝1．3．理科复习时，还要注意求轨迹常用方法的复习，以直接法为主，强化曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤．简单的相关点法、参数法也可提一下，有利于拓展思考问题的思路．例4．如图，在以点O为圆心，AB＝4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB＝60，曲线C是满足MA＋MB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．求曲线C的方程．解：如图建立平面直角坐标系，因为曲线C过点P，所以MA＋MB为定值就是PA＋PB，根据条件求得PA＋PB＝2(1＋3)，所以MA＋MB＝2(1＋3)＞AB．根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以A，B为焦点，且长轴长为2(1＋3)的椭圆，在所建的坐标系中，方程形式为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．根据条件得a＝1＋3，c＝2，b2＝a2－c2＝12，所以曲线C的方程为x24＋23＋y212＝1．（二）求几何量问题．1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距，圆的几何量主要是圆心、半径，这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现．2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率．在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a，b，c，p的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量．例5．直线l：3x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－2x－2＝0相切，则直线l在x轴上的截距_____．ABDPOABDPOxy6解：因为⊙C方程可化为(x－1)2＋y2＝(3)2，所以圆心C(1，0)，半径r＝3，因为直线l与圆C相切，直线C到l的距离等于r，即∣31－10＋m∣2＝3，解得m＝－33或3．当m＝3时，直线l方程为3x－y＋3＝0，在x轴上的截距为－1；当m＝－33，直线l方程为3x－y＋－33＝0，在x轴上的截距为3．例6．(08天津理5）设椭圆x2m2＋y2m2－1＝1(m＞1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为___________解：根据椭圆定义得2a＝1＋3，a＝2，即m＝2，b＝m2－1＝3，c＝1，e＝ca＝12，根据第二定义得P到右准线距离为2．例7．（07安徽理11）如图，F1和F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为___________．解法一：不妨设OF2＝1，因为OF1＝OF2＝OA，所以△AF1F2为直角三角形．所以AF1＝1．所以2a＝AF2－AF1＝3－1,又2c＝2，所以e＝ca＝3＋1．解法二：连接OA，由△ABF2为等边三角形，可得A点的坐标为(－12c，32c)．因为A在双曲线上，所以(－12c)2a2－(32c)2b2＝1，即14e2－34e2e2－1＝1，去分母