2009矩阵分析试题(A卷)

第1页共3页重庆邮电大学研究生考卷(A卷)学号姓名考试方式闭卷班级考试课程名称高等代数与矩阵分析考试时间：2010年1月8日题号一二三四五六七八九十十一十二总分得分一、已知1(1,2,1,0)T，2(1,1,1,1)T，1(2,1,0,1)T，2(1,1,3,7)T求12{,}span与12{,}span的和与交的基和维数。（10分）二、证明：Jordan块10()0100aJaaa相似于矩阵0000aaa，这里0为任意实数。（10分）证明：由于容易求出两个矩阵的不变因子均为31,1,()a，从而这两个矩阵相似，于是矩阵10()0100aJaaa与0000aaa相似.三、求矩阵101120403A的(1)Jordan标准型；（2）变换矩阵P；（3）计算100A。（10分）解（1）Jordan标准型为110010002J（2）相似变换矩阵为第2页共3页100111210P（3）由于1PAPJ，因此1nnAPJP，容易计算10010010010019901002012210124000201A四、验证矩阵0110000iAi是正规阵，并求酉矩阵U，使HUAU为对角矩阵。(10分)五、已知A是Hermit矩阵，且0kA（k为自然数），试证：0A＝。（10分）六、验证矩阵024102211042A为单纯矩阵，并求A的谱分解。（10分）七、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。（10分）八、设12(,,,)n与12(,,,)n是实数域R上的线性空间V的两组基，且1212(,,,)(,,,)nnP，又对任意的V有证明：（1）2x是V中的向量范数；（2）当P是正交矩阵时，有22xy。（10分）九、已知矩阵22111100170.20.5111;2;3011.030.10.5001kkkkkkkk1111222212,,,.nnnnnxyxyxyxyxyxyxy12n，，，；记，100121,002A第3页共3页计算A。（10分）十、以下三题任选一道。（10分）1、证明:在nC上的任何一个正交投影矩阵P是半正定的Hermit矩阵。2、证明：正规矩阵属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。3、设V是数域K上的2维线性空间，V的一组基为12,，V的两个子空间分别为0,,)(21212211202101kkKkkkkWKkkW且证明：V=W1W2.证明：由于112{}Wspan212{}Wspan.因此，121212{,}WWspan，而1212{,}线性无关，所以，12VWW，又因为，12{0}WW，所以V=W1W2.