2009矩阵理论试题]

电子科技大学研究生试卷一、选择题（20分）1、设11(1)1nxRnn,TBIxx，其中I为单位矩阵,则下面正确的选项为()1.||||1AB;.||||1BB;2.||||1CB;2.||||1.mDB2、设G为矩阵()mnrACrn的一个广义逆A，ABD为A的最大秩分解，则1||||mDGB().A.1;B.r;C.0;D.n.3、下列说法错误的是()A.矩阵A与HA有相同的奇异值;B.矩阵收敛的充分必要条件是其谱半径小于1;C.矩阵A的右逆1RA是A的自反广义逆;D.||||||||||||mmmABAB.4、设n阶矩阵A满足2AA，但A不是单位矩阵，则下列说法正确的是().A.矩阵A不是严格对角占优;B.矩阵A为严格对角占优;C.矩阵A左可逆;D.矩阵A的M-P广义逆AA.5、设nnAC且矩阵A的谱半径()1rA，则0kkkA()..()AAIA;2.()BAIA;1.()CAIA;2.()DAIA.二、填空题（20分）1、设A为三阶矩阵且0Ax、(3)0IAx和(3)0IAx都有非零解，其中I为三阶单位矩阵，则矩阵A的谱半径()rA.2、设002A，则2||sin||A.3、1/41/41/41/41/52/51/51/51/61/63/61/61/71/71/74/7A的谱半径()rA.4、设nnAC是可逆矩阵，0是n阶零矩阵,则000A.5、设mnnAC且12||()||TTAAAA.二、计算与证明（60分）1.(10分)设()mnijAaC，定义实数,||||maxGijijAmna，1,1imjn.证明：||||GA是nmC上的矩阵范数.2.(10分)设矩阵满足2AA,求矩阵函数Ate.3.(8分)设矩阵nnAC是正规矩阵,其特征值为12,,,n,满足12||||||n,BAU,其中U为酉矩阵,B的特征值为12,,,n,证明(1)如果20A,则0A;(2)1||||||in.4.(8分)设矩阵()ijnnAa非奇异,其奇异值为12,,,n,AUDV是矩阵A的奇异值分解,detA表示矩阵A的行列式,HA表示矩阵A的共扼转置矩阵,证明(1)矩阵U的任意一个列向量都是矩阵HAA的一个特征向量;(2)12|det|nA.5.(6分)设矩阵,nnABC,若,(),,()HHABAABABAAGAAAGAG,证明:ABAG.6.(10分)已知矩阵1011011,11121Ab,(1).求矩阵A的最大秩分解;(2).求A;(3).用广义逆矩阵方法判断方程组Axb是否有解?(4).求方程组Axb的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解)7.(8分)设矩阵,,nnHABCAA,()rB为矩阵B的谱半径,(1)如果矩阵,HAABAB均为正定矩阵,则()1rB;(2)如果矩阵B的谱半径()1rB,证明:存在正定矩阵A,使得HABAB为正定矩阵.