2009级高数(下)试题及答案

1南昌大学2009～2010学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空3分，共15分)1.设2,3,5a，,1,1b若ab，则4.2.空间曲线cosxt，sinyt，zt在点22,,224处的切线方程是22224222xyz.3.计算积分220sinyxIdydxx1.4.设级数1nna收敛，1nnb发散，则级数1nnnab必是发散.5.函数214yx展开成x的幂级数为21014nnnnx.一、单项选择题(每小题3分,共15分)1.直线223314xyz与平面3xyz的关系是（A）（A）直线在平面上（B）直线与平面平行但直线不在平面上（C）直线与平面垂直（D）直线与平面相交但不垂直22．函数,zfxy在点00,xy处可微分，则（C）（A）,fxy在点00,xy处具有连续偏导数（B）,fxy在点00,xy处不一定连续（C）lim,00xxyyfxy存在（D）,fxy在点00,xy的任一邻域内有界3．设lnyxz，则01xydz=（C）（A）e（B）dxdy（C）dxdy（D）xxeydxedy4．若级数13nnnax在1x处收敛，则此级数在4x处（D）（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5．函数3322339zxyxyx的极大值点为（D）（A）1,2（B）3,0（C）1,0（D）3,2三、(本题满分8分)求通过两点11,1,1M和20,1,1M且垂直于平面1xyz的平面方程．解:设已知平面法向量为1n，则11,1,1n，121,0,2MM取1122,1,1nnMM3所求平面方程为21110xyz即20xyz四、(本题满分8分)设,yzxfxye，其中,fuv具有二阶连续偏导数，试求zx和2zxy．解:令uxyyveuzfxyfx22yyuvuuuuvzxfefxfxyxfefx五、(本题满分8分)计算二重积分222DRxydxdy，其中D是由圆周22xyRy0R所围成的闭区域．解:sin222222002RDRxydxdydRd3333320214cos339RRdRR六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分231Lxyds，其中L是直线2yx从点1,3到1,1的直线段．4解:11231232111Lxydsxxdx1127142xdx七、(本题满分9分)计算曲面积分333xdydzydzdxzdxdy，其中是球面2222xyzR的外侧．解:3332223xdydzydzdxzdxdyxyzdv245000123sin5RddrdrR八、(本题满分9分)求微分方程244xyyye的通解．解:先求440yyy的通解特征方程为2440rr，特征根122rr，所以对应齐次方程的通解为212xxYCCe又设非齐次方程的特解为22xyAxe，则12A，所以特解为2212xyxe所以244xyyye的通解为：2221212xxyYyCCxexe九、(本题满分9分)求幂级数41141nnxn的收敛域及和函数．5解:（1）1limnnnuxux4544145lim41nnnxnxxn当41x时，即11x时原级数绝对收敛当1x时，级数化为1141nn，发散当1x时，级数化为1141nn，发散所以收敛域为1,1（2）设41141nnxn的和函数为Sx，则4141444111()41411nnnnnnxxxSxxnnx又00S，所以440111lnarctan4121xxxSxdxxxxx1,1x十、(本题满分11分)已知函数,uuxy有2222axyxybdudxdyxyxy．（1）求a、b的值；（2）计算2222LaxyxybIdxdyxyxy，其中L为221xy取正向．6解:（1）222222Pxaxyyyxy，2222222Qxxybxyxxy要使PQyx，所以1a，0b（2）2222202LxyxyIdxdydxyxy