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数学怎样解填空题【考点梳理】一、题型特点填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。填空题的考点少，目标集中，否则，试题的区分度差，其考试信度和效度都难以得到保证。这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因。有的可能是一窍不通，入手就错了，有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管它们的水平存在很大的差异。对于解答题，则不会出现这个情况，这是因为解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度，较之填空题大得多。由此可见，填空题这种题型介于选择题与解答题这两种题型之间，而且确实是一种独立的题型，有其固有的特点。二、考查功能1．填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当。同选择题一样，要真正发挥好填空题的考查功能，同样要群体效应。但是，由于填空题的应答速度难以追上选择题的应答速度，因此在题量的使用上，难免又要受到制约。从这一点看，一组好的填空题虽然也能在较大的范围内考查基础知识、基本技能和基本思想方法，但在范围的大小和测试的准确性方面填空题的功能要弱于选择题。不过，在考查的深入程度方面，填空题要优于选择题。作为数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。但与解答题相比其考查的深度还是差得多。就计算和推理来说，填空题始终都是控制在低层次上的。2．填空题的另一个考查功能，就是有效地考查阅读能力、观察和分析能力。在高考数学考试中，由于受到考试时间和试卷篇幅的限制，在权衡各种题型的利弊和考查功能的互补时，填空题由于其特点和功能的限制，往往被放在较轻的位置上，题量不多。三、思想方法同选择题一样，填空题也属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题的基本策略是：巧做。解题的基本方法一般有：直接求解法，图像法和特殊化法（特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法）等。【例题解析】一、直接求解法——直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的方法，称之为直接求解法。它是解填空题的常用的基本方法。使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。例1已知数列{an}、{bn}都是等差数列，a1=0、b1=-4，用Sk、S′k、分别表示数列{an}、{bn}的前k项和（k是正整数），若Sk+S′k=0，则ak+bk的值为。解法一直接应用等差数列求和公式Sk=2)(1kaak，得2)(1kaak+2)(1kbbk=0，又a1+b1=-4,∴ak+bk=4。法二由题意可取k=2（注意：k≠1，为什么？），于是有a1+a2+b1+b2=0，因而a2+b2=4,即ak+bk=4。例2乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）。解三名主力队员的排法有33A种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有27A种排法，故共有排法数A33A72=252种。例3如图14-1，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是（要求：把可能的图的序号都填上）。解正方体共有3组对面，分别考察如下：（1）四边形BFD1E在左右一组面上的射影是图③。因为B点、F点在面AD1上的射影分别是A点、E点。（2）四边形BFD1E在上下及前后两组面上的射影是图②。因为D1点、E点、F点在面AC上的射影分别是D点、AD的中点、BC的中点；B点、E点、F点在面DC1上的射影分别是C点、DD1的中点、CC1的中点。故本题答案为②③。例4已知抛物线的焦点坐标为F(2,1)，准线方程为2x+y=0，则其顶点坐标为。解过焦点F(2,1)作准线的垂线段，由解几知识可得抛物线顶点为垂线段的中点。又由于准线的斜率k=-2,kOF=21，∴O为垂足，从而易得OF的中点，即顶点为(1,21)。例5老师给出一个函数y=f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于x∈R，都有f(1+x)=f(1-x)乙：在(-∞,0]上函数递减丙：在(0,+∞)上函数递增丁：f(0)不是函数的最小值如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数。解由题意知，以甲、乙、丙、丁四个条件中任意三个为一组条件，写出符合条件的一个函数即可。例如同时具备条件甲、乙、丁的一个函数为y=(x-1)2。例6若cos1-sin1=1，则sin2θ的值等于。解由cos1-sin1=1得sinθ-cosθ=sinθcosθ①令sin2θ=t，则①式两边平方整理得t2+4t-4=0，解之得t=22-2。例7已知z1=3+4i,z2=-2-5i,则arg(211zziz)=。解将z1=3+4i,z2=-2-5i代入211zziz整理得211zziz=3i，故arg(211zziz)=2。例8若(x+x2)n展开式中的第5项为常数，则n=。解由Tr+1=Cnr(x)n-r(x2)r=Cnr2rx23rn及题意可知，当r=4时，n-3r=0，∴n=12。二、图像法——借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。例9若关于x的方程21x=k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是。解令y1=21x,y2=k(x-2),由图14-3可知kABk≤0，其中AB为半圆的切线，计算得kAB=-33,∴-33k≤0。例10已知两点M(0,1),N(10,1)，给出下列直线方程①5x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0;④4x-y-14=0。在直线上存在点P满足|MP|=|NP|+6的所有直线方程的序号是。解由|MP|=|NP|+6可知，点P的轨迹是以M（0，1），N（10，1）为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为9)5(2x-16)1(2y=1，(x5)。本题实质上可转化为考察所给直线与双曲线的右支有无交点的问题，结合图形判断，易得②③直线与双曲线的右支有交点。例11点P(x,y)是曲线C：sincos2yx(θ为参数，0≤θπ)上任意一点，则xy的取值范围是。解曲线C的普通方程为(x+2)2+y2=1(y≥0)，则xy可视为P点与原点O连线的斜率，结合图形14-4判断易得xy的取值范围是[-33，0]。三、特殊化法——当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。1.特殊值法例12设ab1，则logab,logba,logabb的大小关系是。解考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a=4,b=2，则logab=21,logba=2,logabb=31,∴logabblogablogba。2．特殊函数法例13如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小关系是。解由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)f(1)f(4)。3．特殊角法例14cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+240°)的值为。解本题的隐含条件是式子的值为定值，即与α无关，故可令α=0°，计算得上式值为23。例15已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则1042931aaaaaa的值是。解考虑到a1,a3,a9的下标成等比数列，故可令an=n，又易知它满足题设条件，于是1042931aaaaaa=1613。5．图形特殊位置法例16已知SA，SB，SC两两所成角均为60°，则平面SAB与平面SAC所成的二面角为。解取SA=SB=SC，将问题置于正四面体中研究，不难得平面SAB与平面SAC所成的二面角为arccos31。6．特殊点法例17椭圆92x+42y=1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是。解设P(x,y)，则当∠F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5，由此可得点P的横坐标x=±53，又当点P在x轴上时，∠F1PF2=0；点P在y轴上时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是-53x53。7．特殊方程法例18直线l过抛物线y2=a(x+1)(a0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=。解∵抛物线y2=a(x+1)与抛物线y2=ax具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，故可用标准方程y2=ax替换一般方程y2=a(x+1)求解，而a值不变。由通径长公式得a=4。8．特殊模型法例19已知m,n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；④若nα，mα，且n∥β,m∥β，则α∥β；⑤若m,n为异面直线，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,则α∥β；则其中正确的命题是。（把你认为正确的命题序号都填上）解依题意可构造正方体AC1，如图14-5，在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的是②⑤。四、构造法——在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。例20如图14-6，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为。解根据题意可将上图补形成一正方体，在正方体中易求得为60°。来源臂力论文网