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用心爱心专心-1-§1.4全称量词与存在量词知识点一全称命题与特称命题的判断判断下列语句是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．分析先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．解(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．知识点二判断全称或特称命题的真假试判断以下命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋20；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)∃x∈Z，x31；(4)∃x∈Q，x2＝3.分析要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．解(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥20，即x2＋20.所以命题“∀x∈R，x2＋20”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x31.所以命题“∃x∈Z，x31”是真命题．(4)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．知识点三全称或特称命题的否定写出下列命题的否定，并判断其真假：用心爱心专心-2-(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解(1)綈p：∃x∈R，x2－x＋140.(假)这是由于∀x∈R，x2－x＋14＝x－122≥0恒成立．(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形．(假)(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋20.(真)这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥10成立．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0.(假)这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.考题赏析1．(海南，宁夏高考)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．綈p：∃x∈R，sinx≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≥1C．綈p：∃x∈R，sinx1D．綈p：∀x∈R，sinx1解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．答案C2．(山东高考)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋10D．对任意的x∈R，x3－x2＋10解析全称命题的否定是特称命题．答案C1．给出下列几个命题：①至少有一个x0，使x20＋2x0＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x0，使x20＋2x0＋1＝0成立．其中是全称命题的个数为()A．1B．2C．3D．0答案B解析命题②③都含有全称量词“任意的”，故②③是全称命题．2．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()用心爱心专心-3-A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．∃x0，y0∈R，使x20＋y20≥2x0y0C．∀x0，y0，都有x2＋y2≥2xyD．∃x00，y00，使x20＋y20≤2x0y0答案A3．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是()A．所有被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除答案C解析全称命题的否定是特称命题．4．已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则()A．綈p：存在x∈R，使cosx≥1B．綈p：对任意x∈R，有cosx≥1C．綈p：存在x∈R，使cosx1D．綈p：对任意x∈R，有cosx1答案C5．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，则命题“p且q”是真命题的充要条件()A．a≤－2或a＝1B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．－2≤a≤1答案A解析p真即a≤x2在1≤x≤2范围内恒成立，因x2∈[1,4]，所以a≤1；q真等价于Δ＝4a2－4(2－a)≥0恒成立．即a2＋a－2≥0.所以a≥1或a≤－2.要使p且q为真则a的取值范围为：a＝1或a≤－2，故选A.6．命题“∀n∈N*，∃m∈N，使m2n”的否定是________．答案∃n∈N*，∀m∈N，使m2≥n7．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是________．答案∀a，b∈R，使a2＋b2＋2ab＝(a＋b)28．用符号“∀”与“∃”表示下面的命题：(1)实数的绝对值大于等于0；(2)存在实数对，使两数的平方和小于1；(3)任意的实数a，b，c，满足a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.解(1)∀x∈R，|x|≥0.(2)∃x0，y0∈R，使x20＋y201.(3)∀a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.9．写出下列命题的否定：(1)若一个四边形是菱形，则它的四条边相等；(2)被6整除的数能被4整除；(3)∀x∈R，x2－3≠0；(4)∀x∈R，∃y∈R，x＋y＝0.解(1)存在一个菱形，它的四条边不全相等．(2)存在被6整除的数，它不能被4整除．(3)∃x0∈R，x20－3＝0.(4)∃x∈R，∀y∈R，x＋y≠0.讲练学案部分用心爱心专心-4-1．4.1全称量词1．4.2存在量词.知识点一判断全称命题的真假判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈{x|x是有理数}，x2是有理数；(2)对所有的正实数p，p为正数，且pp；(3)对实数x，若x2－6x－7＝0，则x2－6x－7≥0.解(1)真命题．(2)假命题．如：p＝14时，p＝12，此时pp.(3)真命题．【反思感悟】要判定一个全称命题是真命题，必须对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x0，使p(x0)不成立即可．判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．知识点二特称命题的真假判断判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，特称命题“有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．【反思感悟】要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a0，且a≠1，则对任意实数x，ax0；(2)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tanx1tanx2；用心爱心专心-5-(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|；(4)∃x0∈R，使x20＋10.解(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵ax0(a0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x∈R，x2＋10.∴命题(4)是假命题．知识点三全(特)称命题的判断判断下列语句是全称命题还是特称命题．(1)有一个实数a，a不能取对数；(2)对所有不等式的解集A，都有A⊆R；(3)有的向量方向不定；(4)三角形的内角和为180°.解(1)特称命题；(2)全称命题；(3)特称命题；(4)全称命题．因为(1)含有存在量词“有一个”；(2)含有全称量词“所有”；(3)含有存在量词“有的”；(4)从题意知是指所有．【反思感悟】在判断命题是全称命题或者特称命题时，当命题中不含量词时，要根据题意是所有的意思还是存在的意思来判断．判断下列语句是全称命题还是特称命题．(1)实数的平方大于或等于0；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a0)至少有一个负根；(3)二次函数的图象是抛物线．解(1)是全称命题；(2)是特称命题；(3)是全称命题．课堂小结：1．全称命题与特称命题的表述同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结如下．在实际应用中可以灵活地选择.命题全称命题“∀x∈A，p(x)”特称命题“∃x0∈A，p(x0)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立①存在x0∈A，使p(x0)成立②对一切x∈A，p(x)成立②至少有一个x0∈A，使p(x0)成立③对每一个x∈A，p(x)成立③对有些x0∈A，使p(x0)成立④任选一个x∈A，使p(x)成立④对某个x0∈A，使p(x0)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立⑤有一个x0∈A，使p(x0)成立2.判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．用心爱心专心-6-3．全(特)称命题真假的判断(1)全称命题是真命题，必须确定对集合M中的每一个元素都成立，若是假命题，举一个反例即可．(2)特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个元素使得命题成立，若是假命题，则对集合M中的每一个元素都不成立．一、选择题1．下列命题不是“∃x0∈R，x203”的表述方法的是()A．有一个x0∈R，使x203B．有些x0∈R，使x203C．任选一个x∈R，使x23D．至少有一个x0∈R，使x203答案C解析“任选一个x∈R，使x23”是全称命题，不能用符号“∃”表示，故选C.2．下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0B．∃x0∈R，－x0＋1≥0C．∀x∈N*，log2x0D．∃x0∈R，cosx02x0－x20－3答案B解析当x0＝－1时，－x0＋1＝0，所以命题“∃x0∈R，－x0＋1≥0”正确，故选B.3．下列命题是全称真命题的是()A．∀x∈R，x20B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x201D．∀x，y∈R，x2＋y20答案B解析A，B，D是全称命题，当x＝0时，x2＝0；当x＝0，y＝0时，x2＋y2＝0，因此A，D为假命题．故选B.4．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小答案C解析“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是特称命题．故选C.5．给出下列命题：①存在实数x0，使x201；②全等三角形必相