2010-2011高数_B下A试卷及答案

2010/20112高等数学B2（A卷）数理学院江莉高材，城管，非金等专业单正垛（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．设arctanyzx，则zx。2．一阶线性微分方程23xdyyedx的通解为。3．设L是椭圆周221xy，则曲线积分2(21)Lxxds。4．函数()xfxxe展开为x的幂级数是。5．已知向量(2,1,1),(1,1,3)ab，则ab。二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数22(,)fxyxy在点（0，0）处（）。()A偏导数存在()B连续但偏导数不存在()C可微()D连续且偏导数存在2．二重积分310(,)xxdxfxydy交换积分次序可化是（）。()A10(,)yydyfxydx()B310(,)yydyfxydx()C10(,)yydyfxydx()D310(,)yydyfxydx3．曲面21zxy在点（1,1,2）处的切平面方程是（）。()A210xyz()B210xyz()C10xyz()D10xyz4．若级数收敛，则级数20()nnnaa（）。()A绝对收敛()B发散()C收敛()D敛散性不能确定5．以2为周期的函数在[,)上的表达式为21,0(),0xxfxxx，其傅里叶级课程考试试题学期学年拟题人:校对人:拟题学院（系）:适用专业:数的和函数为(),sx则(0)s（）。()A1()B12()C0()D2.三、（共21分）1、（7分）设(2,2)zfxyxy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxxy。2、（7分）计算二重积分22Dxydxdy，其中区域D是由yx，1yx及2x所围区域。3、（7分）利用高斯公式计算曲面积分33()()2xydydzyzdzdxdxdy，其中为曲面22zxy（221xy），取下侧。四、（共21分）1、（7分）利用格林公式计算曲线积分223(32)(2)Lyxydxxxyxdy，其中L是从A(1,0)沿曲线21yx到点B(-1,0)的圆弧。2、（7分）求微分方程23(61)xyyyxe的通解。3、（7分）已知函数2(,,)fxyzxyz，（1）求该函数在点A（1，-1，2）处的梯度；（2）求该函数在点A（1，-1，2）处沿着从点A（1，-1，2）到点B（2，0，3）的方向的方向导数；（3）该函数在点A（1，-1，2）处沿着哪个方向的方向导数最大？求出这个最大值。五、（共16分）1、（8分）求幂级数1(1)nnnx的收敛半径、收敛域及和函数。2、（8分）曲面的方程为22zxy，在xoy坐标面上的投影为2220xxy，求曲面的面积。六、（共12分）1、（6分）设正项级数1nnx收敛，证明当12p时，级数1npnxn收敛。2、（6分）设函数(,)zfxy是由方程22(,)0Fxazybz确定的函数，其中F具有一阶连续偏导数，且120aFbF，求证：2zzaybxxyxy。拟题学院（系）：数理学院适用专业：高材、城管、非金等相关专业2010-2011学年2学期高等数学B2（A）卷试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题：（每小题3分，共15分）1.22yxy；2.2xxyeCe；3.3；4.10,(,)!nnxxn；5.4二、选择题：（每小题3分，共15分）1).B2).D3)A4).C5)B.拟题人：江莉书写标准答案人：江莉三、（共21分）1、解122zffx---------------------------------------------3分2zxy2111222232zfffxy-------------------------------------7分2、解曲线yx与1yx的交点为（1,1）------------------------------------------------1分所以22Dxydxdy22112xxdxxydy，-----------------------------------------------------------4分24126(1))5xdx-----------------------------------------------------------------7分3、解33,,2PxyQyzR,取221:1,1zxy,取上侧,记与1所围成区域为,则由Gauss公式知得--------------------------------2分13322()()2()3()PQRxydydzyzdzdxdxdydvxyzxydv------------------3分原式122333()()()2xydvxydydzyzdzdxdxdy-------------------5分211200134032176()210xyDdddzdxdyd--------------------------------7分四、（共21分）1、解取1:0,11Lyx,方向从B（-1,0）点到A（1,0）22332,2PyxyQxxyx------------------------------------------------------2分记L与1L所围成区域为D,则由Green公式知:12232(32)(2)()(32132)2LLDDDQPyxydxxxyxdydxyxyxydd---------------------5分122311(32)(2)22422Lyxydxxxyxdydx原式---------------7分2、解（1）求对应的齐次方程230yyy的通解Y：特征方程为22310rr，则其特征根为121,12rr------2分齐次方程的通解为1212xxYCeCe（1C与2C为任意常数）----------------------3分（2）求原方程的特解*y：由于1不是特征根，则令*()xyaxbe，代入原方程得2(2)3()()(61)xxxxaxabeaxabeaxbexe即67661axabx，从而有66761aab，即11ab*(1)xyxe--------6分原方程的通解为：1212(1)xxxyCeCexe（1C与2C为任意常数）--------7分3、解2(,,)fxyzxyz（1）22(1,1,1)(1,1,2)(,2,)|(2,4,1)gradufyzxyzxy-2分（2）令(1,1,1)lAB，则其方向余弦为333cos,cos,cos333，从而有(1,1,2)3|2cos4coscos3fl--------------------------5分（3）由方向导数和梯度的关系可知：当沿梯度(1,1,2)(2,4,1)gradf方向时，方向导数最大且最大值为梯度的模21-----------------------------------7分五、（共16分）1、解：lim||11nnRn，即幂级数的收敛半径为1---------2分而级数1(1)nnn，1nn都发散，所以幂级数的收敛域为(2,0)--------------4分设幂级数在区间(2,0)内的和函数为()sx，则1112()(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)1nnnnnnsxnxxxxxxxxxx----------------6分所求幂级数的和函数为：21()(2,0)xsxxx-------------------8分2、解：的方程为22zxy，xyD：2220xxy或22(1)1xy于是该曲面的面积为：221xyxyDAzzdxdy----------------4分112xyDdxdy----------------8分六、（共12分）1、证明：（1）由题意，正项级数1nnx收敛，且1/2p，则：因为22211022npnpnpxxxnnn，----------------4分显然，211pnn亦收敛。所以，由收敛级数的性质和正项级数的比较审敛法可知：级数1npnxn收敛。---------6分2、证明：将方程22(,)0Fxazybz两边同时关于x求偏导数得12(2)0zzFxabFxx，于是1122xFzxaFbF，----------------2分类似可得：2122yFzyaFbF，----------------4分左边121212222xFyFzzaybxaybxxyxyaFbFaFbF=右边所以结论成立。---------6分