2010中考数学一轮复习专题讲座四边形

新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载一轮复习专题讲座四边形1专题概述本期复习的四边形是初中几何核心内容之一．四边形的概念、性质和定理较多，特别是特殊四边形，与同学们的生活实际息相关，又为数学上证明线段和角相等提供了依据，自然成为各地中考必考内容．在各地中考题中，四边形的考查题型不定，问题呈现方式多样．难度以中档题、较难题为主．直接考查的题量一般在5~7个左右，分值占试卷20%~30%．预计2010年中考会继续将四边形作为重点考查对象，考查灵活多变，突出推理、综合与应用．2基础知识回顾1．平行四边形的的概念：两组对边的四边形叫做平行四边形.2．平行四边形的性质：⑴平行四边形的两组对边；⑵平行四边形是图形，的交点为平行四边形的对称中心；⑶平行四边形的对边，对角，邻角；⑷平行线之间的距离处处.3．平行四边形的判定方法：⑴两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（定义识别）⑵一组对边的四边形是平行四边形．⑶对角线的四边形是平行四边形．⑷两组对边的四边形是平行四边形．⑸两组对角的四边形是平行四边形．4．矩形概念：有一个角是的平行四边形叫做矩形.5．矩形的性质：①矩形具有的所有特征；②矩形的四个内角都是；③矩形的两条对角线；④矩形既是图形，又是图形。6．矩形的判定方法：①矩形定义；②有三个角是的四边形是矩形；③对角线的平行四边形是矩形；7．菱形概念：有一组邻边的平行四边形叫做菱形.8．菱形的性质：①菱形具有的所有特征；②菱形的四条边都；③菱形的对角线，每条对角线平分一组，9．菱形的判定方法：①菱形定义；②四条边的四边形是菱形；③对角线的平行四边形是菱形。新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载10．正方形概念：有一组邻边，并且有一个角是的平行四边形叫做正方形.11．正方形的性质：①正方形具有、、的所有特征，②正方形的四个角都是，四条边都；③正方形的两条对角线，并且互相，每条对角线平分一组；④正方形的交点是它的对称中心，是它的对称轴，共有条对称轴。12．正方形的判定方法：①正方形定义；②有的矩形是正方形；③有的菱形是正方形；④对角线的矩形是正方形；⑤对角线的菱形是正方形。13．梯形定义：的四边形叫梯形。14．梯形的元素：平行的两边叫梯形的，不平行的两边叫做梯形的，两底之间的距离叫做梯形的.15．其中一腰与底边垂直的梯形叫梯形，两腰相等的梯形叫梯形。16．等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的两腰，两底；（2）等腰梯形同一底上的相等；（3）等腰梯形的对角线；（4）等腰梯形是图形，它的对称轴是。17．等腰梯形的判定方法：（1）相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底上的两个角的梯形是等腰梯形；（3）对角线的梯形是等腰梯形。3考点例析考点一平行四边形的性质与判定例1（2009年桂林市）如图，□ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）．A．3B．6C．12D．24讲解：观察平行四边形中散在的5个阴影部分，其面积怎样集中起来呢？如果发现平行四边形的中心对称性质就可以将它们转化（集中）为一个大的三角形（△ADC或△ABC）来求了，显然阴影部分的面积为12，故选C．新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载点评：不规则图形的面积一般都需要有效转化，像上面这样充分发现并利用已知条件的价值，进而为问题求解服务的策略是值得同学们积累的．例2（2009湖北黄冈）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB中点，连结CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．分析：要证明ACEF是平行四边形，已有AF=CE，只要证明AF∥CE即可，只要证明∠F=∠DEC，而由AF=AE，得∠F=∠AEF，由BE=CE，得∠CED=∠DEB，又∠BED=∠AEF，即证.点评：几何证明主要采用的是分析的方法，寻找现有的条件，挖掘隐藏的条件，从结论出发，向已知条件或定理靠拢.考点二菱形、矩形的性质与识别例3（2009四川内江)如图在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°分析：在Rt△ABC中，AC=2AB，得∠ACB=30°，又由矩形的性质得BO=CO，所以∠AOB=60°，选C.点评：矩形是特殊的平行四边形，它可以转化为直角三角形的问题，利用直角三角形的性质来解答.例4（2009福建莆田）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：，使得该菱形为正方形．BDCAFEADCB新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载分析：正方形是特殊的菱形，它具有菱形具有的一切性质外，还有它的对角线是相等，所以当菱形增加一个条件是对角线相等时，该菱形变为正方形.点评：特殊平行四边形之间的关系是十分重要的，同学们一定要对它们之间的关系熟悉.例5（2009年襄樊市，有改动）如图所示，在RtABC△中，90ABC∠．将RtABC△绕点C顺时针方向旋转60得到DEC△，点E在AC上，再将RtABC△沿着AB所在直线翻转180得到ABF△．连接AD．（1）试分析四边形AFCD是菱形吗？说明理由．（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？讲解：（1）四边形AFCD是菱形．说明：RtDEC△是由RtABC△绕C点旋转60得到，∴60ACDCACBACD，∠∠∴ACD△是等边三角形，∴ADDCAC又∵RtABF△是由RtABC△沿AB所在直线翻转180得到∴90ACAFABFABC，∠∠∴FBC∠是平角∴点F、B、C三点共线∴AFC△是等边三角形∴AFFCACADFCEGBABCDDCBAOO新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载∴ADDCFCAF∴四边形AFCD是菱形．（2）四边形ABCG是矩形．说明：由（1）可知：ACD△是等边三角形，DEAC于E，∴AEEC∵AGBC∥∴EAGECBAGEEBC∠∠，∠∠．∴AEGCEB△≌△∴AGBC∴四边形ABCG是平行四边形，而90ABC∠∴四边形ABCG是矩形．点评：本题第（1）问中发现“ACD△是等边三角形”是很重要的，它是后续很多特殊三角形得到发现、确认的关键．第（2）问求解时，如果能发现特殊Rt△ABC、Rt△BCG、Rt△ACG（它们都是30度，60度，90度）也是思路得以打开的关键．考点5与正方形相关的探究问题例6（2009年莆田市）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：，使得该菱形为正方形．讲解：ABBC或ACBD或AOBO等．点评：正方形的识识别一般可从两个方面来理解：(1)若是矩形，则需再有一组邻边相等；(2)若是菱形，再需要有一个角是直角．即在矩形和菱形的基础上发现，当然也可以结合正方形的定义来发现．例7（2009山东德州）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）ABCDDCBAOO新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载分析：题中点G是一个特殊点，它是Rt△DEF和Rt△DCF斜边上的中点，要证EG=CG可利用直角三角形的性质加以证明.随着图形的变换，要证明结论的不变性，可充分挖掘正方形的一些特性，所隐藏的一些条件，构造出全等三角形加以证明.解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD同理，在Rt△DEF中，EG=12FD；∴CG=EG（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，；∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG；∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴MG=NG在矩形AENM中，AM=EN，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴AG=EG．∴EG=CG（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG点评：当几何图形和已知条件发生变化时，它的结论有可能随之发生变化，也有可能原来结论保持不变的.这类探索型试题在中考试卷中属热点问题，要求同学们能在“变”中求“变”或“不变”.考点四梯形为载体的问题例8(2009山东淄博)如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为（）FBADCEGMNN图②（一）FBADCEG图①FBADCEG图②FBACE图③新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载A．9B．10.5C．12D．15讲解：梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA，由梯形中位线性质可求出AD+BC=6.由平行线与角平分线的性质，可得BE=EP=AE；CF=PF=DF,所以AB+CD=6，所以ABCD的周长为12.点评：梯形的中位线定理在梯形面积．周长的计算中时常用到，它将上．下底的和的大小．位置转换到中位线的大小．位置关系.例9（2009湖南邵阳）如图在梯形ABCD中，ADBC∥，ABADDC，ACAB，将CB延长至点F，使BFCD．（1）求ABC的度数；（2）求证：CAF△为等腰三角形．讲解：要求ABC的度数的大小，但题中已知条件没有告之角度的大小，所以可以考虑用方程来解决，因为∠DAC=∠DCA=∠BAF=∠AFB=x；则x=30,则ABC=60.点评：本题是利用梯形．等腰三角形的性质进行角度的计算，是通过角度之间的转换来4新题解读题型一矩形纸条的操作探究问题例1（2009年烟台市）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是．例1-1例1-2讲解：两张等宽纸条交叉放置，重叠部分是一个菱形，同学们一定能说明它的正确性，这里不去验证了．怎样才能获得最大周长呢？关键是什么时候的边长最大！当两张纸条放置DAFBCABCDEFP新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载成如图（例4-2）所示的情况时，可获得最大边长，此时思考Rt△ABC由勾股定理可求出菱形的边长为174，即此时菱形周长为17．点评：顺利求解这道题有两个关键：一是想象出如图例4-2的最大菱形；二是在该图形怎样求出菱形的边长，能不能想到用方程思想解Rt△ABC．题型二小组合作学习的情境问题例2（2009年孝感市）如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为:若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（）．A．仅小明对B．仅小亮对C．两人都对D．两人都不对讲解：关键是过E、M引对边的垂线段，进而构造直角三角形全等，可以发现两个同学的发现都是正确的．点评：这是正方形中一个重要的性质了，同学们在课本上或习题一定都