2010届中考数学创新性开放型问题1

创新型、开放型问题曾庆坤例1.比较下面的两列算式结果的大小：(在横线上填“”、“”、“=”)(1)42+32____2×4×3(2)(-2)2+12___2×(-2)×1(3)(4)22+22____2×2×2通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明2122)21()2(22(1)(2)(3)(4)=结论：对于任意两个实数a和b，一定有a2+b2≥2ab证明：∵(a-b)2≥0，即a2-2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab例2.如图：已知△ABC为⊙O的内接三角形，⊙O1过C点与AC交点E，与⊙O交于点D，连结AD并延长与⊙O1交于点F与BC的延长线交于点G，连结EF,要使EF∥CG，△ABC应满足什么条件？请补充上你认为缺少的条件后，证明EF∥GC(要求补充的条件要明确，但不能多余)分析：要使EF∥GC，需知∠FEC=∠ACB，但从图中可知∠FEC=∠FDC，∠FDC=∠B，所以∠FEC=∠B，故当∠B=∠ACB时，可得证EF∥GC要使EF∥GC，△ABC应满足AB=AC或∠ABC=∠ACB证明：连结DC，则∠FDC=∠FEC，∠FDC=∠B，∴∠FEC=∠B，∵∠B=∠ACB，∴∠FEC=∠ACB，∴EF∥GC例3.如图：已知⊙O1与⊙O2相交于A.B两点，经过A点的直线分别交⊙O1.⊙O2于C.D两点(D.C不与B重合).连结BD，过C点作BD的平行线交⊙O1于点E，连结BE(1)求证：BE是⊙O2的切线(2)如图2，若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE与⊙O2的位置关系(不要求证明)(3)若点C为劣弧AB的中点，其他条件不变，连结AB.AE，AB与CE交于点F，如图3写出图中所有的相似三角形(不另外连线，不要求证明)要证BE是⊙O2的切线，需知∠EBO2=90°，不妨过B点作⊙O2的直径BF交⊙O2于F点，则∠BAF=90°，即∠F+∠ABF=90°，∵∠F=∠ADB，∠EBO2=∠EBA+∠ABF，要知∠EBO2=90°，需知∠ABE=∠ADB，但∠ABE=∠ACE，由EC∥BD，得∠ACE=∠ADB，故∠ABE=∠ADB得证，从而知∠EBO2=90°，因此BE是⊙O2的切线证明：作直径BF交⊙O2于F，连结AB、AF，则∠BAF=90°，即∠F+∠ABF=90°。∵∠F=∠ADB，∴∠ABF+∠ADB=90°。∵EC∥BD，∴∠ACE=∠ADB，又∠ACE=∠ABE，∴∠ABE=∠ADB，故∠ABF+∠ABE=90°，即∠EBO2=90°，∴EB⊥BO2，∴EB是⊙O2的切线(2)分析：猜想EB与⊙O2的关系是相切的仍作⊙O2的直径BF，则∠FAB=90°，同时∠FAD+∠FBD=180°，∴∠BAC+∠FBD=90°。现只需要得知∠FBE=90°即可。由CE∥BD可知，∠CEB+∠DBE=180°，又，∠CEB=∠BAC，∴∠BAC+∠EBD=180°，∴∠EBD-∠FBD=90°，即∠FBE=90°，故EB与⊙O2是相切的证明：作⊙O2的直径BF交⊙O2于F，则∠FAB=90°且∠FAD+∠FBD=180°，∴∠BAD+∠FBD=90°。但∠BAD=∠CEB，故∠CEB+∠FBD=90°。∵CE∥DB，∴∠CEB+∠EBD=180°，∴∠EBD-∠FBD=90°，即∠FBE=90°，∴EB是⊙O2的切线证明∵EC∥DB，∴∠ACE=∠ADB，又∠ACE=∠ABE，∴∠ACE=∠ADB=∠ABE。∵C是劣弧AB的中点，∴∠BAC=∠BEC=∠AEC，∴△AFC∽△ABD∽△EAC∽△EFB(3)若点C为劣弧AB的中点，其他条件不变，连结AB.AE，AB与CE交于点F，如图3写出图中所有的相似三角形(不另外连线，不要求证明）馒头机的⊙O1经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OAOB)的长分别是方程x2+kx+60=0的两个根(1)求线段OA、OB的长(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CD×CB时，求C点的坐标(3)在⊙O1上是否存在点P，使S△POD=S△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由(1)解：∵OA、OB是方程x2+kx+60=0的两个根，∴OA+OB=-k，OA×OB=60∵OB⊥OA，∴AB是⊙O1的直径∴OA2+OB2=132，又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OA×OB，∴132=(-k)2-2×60解之得：k=±17∵OA+OB0，∴k0故k=-17，于是方程为x2-17x+60=0,解方程得OA=12，OB=5(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CD×CB时，求C点的坐标解：连结O1C交OA于点E，OC2=CD×CB，即OC/CB=CD/OC,又∠OCB=∠DCO，∴△OCD∽△BCO，∴∠COD=∠CBO，∴，=∴O1C⊥OA且平分OA，∴OE=1/2OA=6，O1E=1/2AB=5/2，∴CE=O1C-O1E=4，∴C的坐标为(6，-4)(3)在⊙O1上是否存在点P，使S△POD=S△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由因此得知|n|=139，所以假设错误，故这样的点P是不存在的分析：假设这样的点P是存在的，不妨设P(m，n)，则P到x轴的距离可表示为|n|，从已知中得知P到x轴的最大距离为9，所以|n|≤9。又S△POD=1/2OD×|n|S△ABD=1/2AD×OB,∴OD|n|=AD×OB=(OA-OD)OB,即OD|n|=(12-OD)×5若能求出OD的长，就可得知|n|。从而知P点是否在⊙O1上由(2)知△OCD∽△BCO，则从中可求出OD的长BCOCOBOD在⊙O1上不存在这样的P点，使S△POD=S△ABD。理由：假设在⊙O1上存在点P，使S△POD=S△ABD，不妨设P(m，n)，则P到x轴的距离|n|≤9。由△OCD∽△BCO，得将OB=5，代入计算得OD=10/3S△ABD=S△POD=65/3，即213OC913BC∴|n|=139，∴P点不在⊙O1上故在⊙O1上不存在这样的点P。365)3106(2121OBAD365||21nOD