2010届中考数学创新性开放型问题2

创新型、开放型问题第二讲第一类：找规律问题这类问题要求大家通过观察,分析,比较,概括,总结出题设反映的某种规律,进而利用这个规律解决相关问题例1：观察下列算式：21=222=423=824=1625=3226=6427=12828=256通过观察，用你所发现的规律写出89的末位数字是——————。第一列第二列第三列第四列第一行21=222=423=824=16第二行25=3226=6427=12828=256第三行………………………………………………8例1：观察下列算式：21=222=423=824=1625=3226=6427=12828=256通过观察，用你所发现的规律写出89的末位数字是——————。第二类:探求条件问题这种问题是指所给问题结论明确,而寻求使结论成立的条件.大致有三种类型(1)条件未知需探求(2)条件不足需补充条件(3)条件多余或有错,需排除条件或修正错误条件例2:已知:如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点，（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？2）当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF.为什么?⌒⌒分析：要知PC与⊙0相切，需知PC⊥OC，即∠PCO=90°，∵∠CAB+∠AFH=90°，而∠CAB=∠OCA，∠AFH=∠PFC，∴∠PFC+∠OCA=90°，∴当∠PFC=∠PCF时，∠PCO=90°.解:(1)当PC=PF(或∠PCF=∠PFC,或△PCF为等边三角形)时,PC与⊙O相切.连结OC,则∠OCA=∠FAH.∵PC=PF∴∠PCF=∠PFC=∠AFH∵DE⊥AB∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=900即OC⊥PC,∴PC与⊙O相切.（2）当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF.为什么?分析:要使AD2=DE·DF需知△ADF∽△EDA证以上两三角形相似,除公共角外,还需证∠DAC=∠DEA故应知AD=CD⌒⌒解：（2）当点D是AC的中点时，AD2=DE·DF.连结AE.∵AD=CD∴∠DAF=∠DEA又∠ADF=∠EDA∴△DAF∽△DEA即AD2=DE·DFADDFDEAD⌒⌒⌒第三类:探求结论问题这类问题是指题目中的结论不确定,不惟一,或结论需要通过类比,引申,推广或由已知特殊结论,归纳出一般结论例3：已知，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，且与⊙O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交⊙O2于点P，连结BP、BC.(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;(2)请猜想△BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用)(3)如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交⊙O1于D,且PB、DB的长是方程x2+kx+10=0的两个根，求⊙O1的半径.⌒⌒例3：已知，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，且与⊙O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交⊙O2于点P，连结BP、BC.(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;(2)请猜想△BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用)（2）证明：连结O2A、O2B，则∠BO2A=∠ACB∠BO2A=2∠P∴∠ACB=2∠P∵∠ACB=∠P+∠PBC∴∠P=∠PBC∴△BCP为等腰三角形.(3)如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交⊙O1于D,且PB、DB的长是方程x2+kx+10=0的两个根，求⊙O1的半径.连结O2O1并延长交AB于E，交⊙O1于F设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R，∴O2F⊥AB，EB=1/2AB=2，∵PDB、PO2A是⊙O1的割线，∴PD·PB=PO2·PA=2R2，∵PB、BD是方程x2+kx+10=0的两根，∴PB·BD=10，13EF·EO2=AE·BE，∴EF=4/3，r=1/2×（3+4/3）=13/6∴⊙O1的半径为13/6∵PD·PB=（PB－BD）·PB=PB2－PB·BD=PB2－10∴PB2－10=2R2，∵AP是⊙O2的直径，∴∠PBA=90°，PB2=PA2－AB2，∴PB2=4R2－16得R=在Rt△O2EB中，O2E=由相交弦定理得，3413222BEBO13第四类：存在性问题存在性问题是指在一定件下某数学对象是否存在的问题例4：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过P（1，-2），Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点(A在B的左侧),与Y轴交于C点，连结AC，BC1.求a与c的关系式2.若(O为坐标原点),求抛物线的解析式3.是否存在满足条件tan∠CAB穧cot∠CBA=1的抛物线?若存在,请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由。OCOBOA411+分析（1）因为P，Q在抛物线上，所以有解方程组得：a+c=0，b=－2+++cbacba22解（1）将P（1，-2），Q（-1，2）代入解析式得解方程组得a+c=0，b=－2∴a，c的关系式是a+c=0或a=－c+++cbacba22例4：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过P（1，-2），Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点(A在B的左侧),与Y轴交于C点，连结AC，BC1.求a与c的关系式2.若(O为坐标原点),求抛物线的解析式3.是否存在满足条件tan∠CAB·cot∠CBA=1的抛物线?若存在,请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由。OCOBOA411+（2）由（1）知b=－2，所以y=ax2－2x+c设A（x1，0）B（x2，0）则x1·x2=c/a，但a=－c，所以x1·x2＜0这说明A，B在原点两侧（A在B的左侧）所以OA=－x1，OB=x2，OC=|c|=|a|，已知故有即平方后得而（x2-x1）2=（x1+x2）2－4x1x2把x1+x2=2/a，x1·x2=－1代入上式中，得到关于a的方程，解方程求得a，c从而求出解析式OCOBOA411+||42121axxxx222121216)()(axxxxaxx41121+（2）设A，B的坐标分别为（x1，0）,（x2，0）,则x1，x2是方程ax2－2x+c=0的两个根∴x1+x2=2/a，x1x2=－1因此A，B两点分别在原点两侧，因为A在B的左侧，所以x1＜0，x2＞0，故OA=－x1，OB=x2，OC=|c|=|a|，由得即OCOBOA411+||42121axxxxaxx41121+平方后得又于是得4/a2+4=16/a2,解之得a=，c=所以解析式为222121216)()(axxxx（x2-x1）2=（x1+x2）2－4x1x232332322+xxyxxy33例4：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过P（1，-2），Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点,与Y轴交于C点，连结AC，BC1.求a与c的关系式2.若(O为坐标原点),求抛物线的解析式3.是否存在满足条件tan∠CAB·cot∠CBA=1的抛物线?若存在,请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由。OCOBOA411+（3）假设满足条件的解析式存在由tan∠CAB·cot∠CBA=1得(OC/OA)·(OB/OC)=1，从而有OA=OB这说明A，B一定在原点两侧，所以－x1=x2即x1+x2=0，所以－b/a=0，因而b=0这与b=－2相矛盾，故假设错误，所以不存在这样的抛物线。