2010届高三数学一轮复习精品汇编数列求和及数列实际问题

-1-第30讲数列求和及数列实际问题一．【课标要求】1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。二．【命题走向】数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目有关命题趋势：1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等；4．有关数列的应用问题也一直备受关注预测2010年高考对本将的考察为：1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合三．【要点精讲】1．数列求通项与和（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=11sssnn12nn。（2）求通项常用方法①作新数列法。作等差数列与等比数列；②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1；③归纳、猜想法。（3）数列前n项和①重要公式：1+2+…+n=21n(n+1)；12+22+…+n2=61n(n+1)(2n+1)；13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=41n2(n+1)2；②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；④裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：-2-)11(1))((1CAnBAnBCCAnBAnan、)1(1nn=n1－11n、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、)!1(nn=!1n－)!1(1n等⑤错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。nnncba,其中nb是等差数列，nc是等比数列，记nnnnncbcbcbcbS112211，则1211nnnnnqSbcbcbc，…⑥并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法⑦通项分解法：nnncba2．递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列}12{n即为递归数列递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题四．【典例解析】题型1：裂项求和例1．已知数列na为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：niiiaa111。解析：首先考虑niiiaa111niiiaad11)11(1，则niiiaa111=1111)11(1nnaanaad。点评：已知数列na为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和11111nniiiiiiaadaa也可用裂项求和法。例2．求)(,32114321132112111*Nnn。解析：)1(2211kkkak，-3-])1n(n1321211[2Sn1211121113121211[2nnnnn新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。题型2：错位相减法例3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。解析：①若a=0时，Sn=0；②若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=)1n(n21；③若a≠1，a≠0时，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=]naa)1n(1[)a1(a1nn2。例4．已知1,0aa，数列na是首项为a，公比也为a的等比数列，令)(lgNnaabnnn，求数列nb的前n项和nS。解析：,lgnnnnaabnaa，232341(23)lg(23)lgnnnnSaaanaaaSaaanaa……①……②①-②得：anaaaaSannnlg)()1(12，nnananaaaS)1(1)1(lg2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：设数列na的等比数列，数列nb是等差数列，则数列nnba的前n项和nS求解，均可用错位相减法。题型3：倒序相加例5．设数列na是公差为d，且首项为da0的等差数列，求和：nnnnnnCaCaCaS11001解析：因为nnnnnnCaCaCaS11001，00111nnnnnnnnCaCaCaSnnnnnnCaCaCa0110，01101102()()()nnnnnnnnSaaCaaCaaC-4-0100()()()2nnnnnnnaaCCCaa110()2nnnSaa。点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列na的前n项和nS12)1(nn，是否存在等差数列nb使得nnnnnnCbCbCba2211对一切自然数n都成立。题型4：数列综合问题例6．（2009湖北卷文）设,Rx记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{215}，[215],215A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】可分别求得515122，51[]12.则等比数列性质易得三者构成等比数列.例7．(2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=103，…，f(n)=16(n+1)(n+2)答案101,(1)(2)36nn解析当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知-5-1212121,,,abcxxabyybczzca1212121221122()2,2xxyyzzabcgxyxzyz12121262()2gxxyyzzabc即12121211110(3)13233gfabcxxyyzzg而进一步可求得(4)5f。由上知(1)f中有三个数，(2)f中有6个数，(3)f中共有10个数相加，(4)f中有15个数相加….，若(1)fn中有1(1)nan个数相加，可得()fn中有1(1)nan个数相加，且由363331045(1)1,(2)(1),(3)(2),(4)5(3),...3333333fffffff可得1()(1),3nfnfn所以11113()(1)(2)...(1)3333333nnnnnnfnfnfnf=113211(1)(2)3333336nnnnn题型5：数列实际应用题例8．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010）解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，①甲方案获利：63.423.013.1%)301(%)301(%)301(11092（万元），银行贷款本息：29.16%)51(1010（万元），故甲方案纯利：34.2629.1663.42（万元），②乙方案获利：5.02910110)5.091()5.021()5.01(150.32（万元）；-6-银行本息和：]%)51(%)51(%)51(1[05.19221.1305.0105.105.110（万元）故乙方案纯利：29.1921.1350.32（万元）；综上可知，甲方案更好。点评：这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解例9．(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知点（1，31）是函数,0()(aaxfx且1a）的图象上一点，等比数列}{na的前n项和为cnf)(,数列}{nb)0(nb的首项为c，且前n项和nS满足nS－1nS=nS+1nS（2n）.（1）求数列}{na和}{nb的通项公式；（2）若数列{}11nnbb前n项和为nT，问nT20091000的最小正整数n是多少?解（1）113faQ,13xfx1113afcc,221afcfc29,323227afcfc.又数列na成等比数列，22134218123327aaca，所以1c；又公比2113aqa，所以12112333nnna*nN；1111nnnnnnnnSSSSSSSSQ2n又0nb,0nS,11nnSS；数列nS构成一个首相为1公差为1的等差数列，111nSnn，2nSn当2n，221121nnnbSSnnn；-7-21nbn(*nN)；（2）12233411111nnnTbbbbbbbbL1111133557(21)21nnK1111111111112323525722121nnK1112