2010年中考数学专题复习教学案解直角三角形及其应用

nodesire,nodespair.解答题1.（2009年河南省）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.)2.（2009年山东德州）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．3.（2009年浙江台州）如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角12CBD，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD；（2）求斜坡新起点A与原起点B的距离（精确到0.1米）．[来源:学科网]（第4题）DCBA5°12°参考数据sin12°0.21cos12°0.98tan5°0.09nodesire,nodespair.4.（2009年河北省）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=1213．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？[来源:学*科*网Z*X*X*K]5.（2009年江苏省）如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：31.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan764.01°≈）6.（2009年湖南娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°.问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）AOBECD北东CDBEAl60°76°nodesire,nodespair.7.（2009年山东烟台）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据3173.）．8.（2009年山东威海）如图，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上C处一渔船发生故障．已知港口A处在B处的北偏西37方向上，距B处20海里；C处在A处的北偏东65方向上．求,BC之间的距离（结果精确到0.1海里）．参考数据：sin370.60cos370.80tan370.75，，，sin650.91cos650.42tan652.14.，，9.（2009年广东省）如图所示，A、B两城市相距100km．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？（参考数据：31.73221.414≈，≈）ABFEP45°30°DCBA②①65°37°北北ACBnodesire,nodespair.【参考答案】选择题1.Anodesire,nodespair.【解析】此题考查了锐角三角函数的应用.由方位角可求得∠BAC=30°，∠ABC=90°，所以由∠BAC的余弦定义得cos30°=235ACACAB，所以AC=km3310.【点评】根据角度判断三角形的形状，再选择适当的关系式.2.【解析】过点B作BE垂直于AC，垂足为E，因为30BAD°，60BCD°，所以∠ABC=∠BAD=30°，则BC=AC=50，在Rt△BCE中，sin∠BCD=BCBE，所以小岛B到公路l的距离BE=BC·sin∠BCD=50×23=253（米）.【点评】遇到非直角三角形的问题，通常最垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答.填空题1.213【解析】知识点：勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线性质.由52+122=132知△ABC是直角三角形，AC是斜边，所以BD=21AC=213cm.【点评】由数量关系判断三角形的形状，这是数形结合思想的体现.学习时要注意把直角三角形所有的知识都归纳起来，从而达到综合运用知识的能力.2.3.5【解析】知识点：等腰三角形三线合一的性质、坡角函数关系、计算器的操作.根据三线合一的性质可知，坡屋顶高度h把等腰三角形分成了两个全等的直角三角形，且有tan=5h，所以h约为3.5米.【点评】利用三线合一的性质把等腰三角形转化为直角三角形，利用相应的函数关系时解答.3.31【解析】由题意可知，△ABC平移的距离是等腰直角三角形的斜边长，过点A′作AD⊥B′C于点D，设A′D为a，根据等腰三角形三线合一的性质则有BC=B′C′=2a，所以BD=3a，在Rt△A′BD中，CBAtan=BDDA=31.【点评】准确地构造直角三角形是解答此题的关键.4.225.33【解析】本题所考查的知识点有轴对称、直角三角形斜边的中线性质、等边对等角、nodesire,nodespair.同角的余角相等、30°的正切函数值.由CM是Rt△ABC斜边的中线可得CM=AM，则∠A=∠ACM；由折叠可知∠ACM=∠DCM；又∠A+∠B=∠BCD+∠B=90°，则∠A=∠BCD，所以∠A=∠ACM=∠DCM=∠BCD=30°，因此tanA=tan30°=33.【点评】把直角三角形与等腰三角形结合起来，根据折叠的不变性转化角与角之间的关系，求出角的大小，函数值即可跃然纸上.6.1：2【解析】如图，由题意得直角三角形ABC，AB=10米，AC=52米，由勾股定理得BC=45米，坡度为215452.7.45(或0.8)【解析】根据点P的坐标利用勾股定理可以求得OP=2243=5.所以sin=54斜边的对边.解答题1.【解析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，利用三角函数计算AE、DF，结合电工身高计算其头顶到天花板的距离在0.05～0.20m范围内即可判断安装方便；否则，不方便.【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．∵AB=AC,∴CE=12BC=0.5．在Rt△ABC和Rt△DFC中，∵tan780=AEEC，∴AE=EC×tan7800.5×4.70=2.35.BCAnodesire,nodespair.又∵sinα=AEAC=DFDC，[来源:学科网ZXXK]DF=DCAC·AE=37×AE1.007．李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787．头顶与天花板的距离约为：2.90-2.7870.11．[来源:Zxxk.Com]∵0.05＜0.11＜0.20，∴它安装比较方便．【点评】将等腰三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题.2.【解析】按要求作图，因图中的三角形是格点三角形，所以线段的计算要用它与网格线构成的直角三角形，通过勾股定理计算，然后计算有关锐角的函数值.【答案】（１）如图；（２）5；（３）∠CAD，55(或∠ADC，552)（４）21【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础.[来源:学科网ZXXK]3.【解析】BC所在的三角形是斜三角形，所以它的高度无法直接求得，我们可以过点C作AD的垂线，结合坡比这个条件计算CE、AE，再计算BE，从而通过BE、CE的差求BC.【答案】解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比为1︰3可知：∠CAE＝30°，∴CE＝AC·sin30°＝10×12＝5，AE＝AC·cos30°＝10×32＝53．在Rt△ABE中，BE＝22ABAE＝2214(53)＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）．答：旗杆的高度为6米．【点评】过合适的点作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理计算线段的长度.4.【解析】在Rt△BCD中，利用∠CBD的正弦计算CD，利用∠CBD的余弦计算BD；在Rt△ABCDEnodesire,nodespair.ACD中，利用∠A的正切计算AD，AD与BD的差则是A、B的距离.【答案】解：（1）在BCDRt中，12sinBCCD1.221.010（米）．（2）在BCDRt中，12cosBCBD8.998.010（米）；在ACDRt中，5tanCDAD2.123.330.09（米），23.339.813.5313.5ABADBD（米）．答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．【点评】这是一道锐角三角函数的应用题，结合图形和已知条件，选择合适的函数关系式计算线段的长度.5.【解析】根据垂径定理可知DE的长度，在Rt△DOE中，利用∠DOE的正弦求半径OD，再利用勾股定理计算OE，然后结合水面下降的速度得时间.【答案】解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24，∴ED=12CD=12．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE=EDOD=1213，∴OD=13（m）．（2）OE=22ODED=2213125=．∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．【点评】在直角三角形中，已知一边和与它相关的函数关系式时用函数关系计算另一边，当知道两条边长时，则用勾股定理计算第三边.6.【解析】在Rt△OAD中，利用∠A的余弦关系求OA，便知OB的长度，然后在Rt△BOE中利用∠OBE的余弦关系求BE；在Rt△OAD和Rt△BOE利用60°的正切关系求出OD、OE，便得DE，利用路程和时间求速度.【答案】解：（1）设AB与l交于点O．在RtAOD△中，6024cos60ADOADADOA°，，°．又106ABOBABOA，．在RtBOE△中，60cos603OBEOADBEOB°，°（km）．nodesire,nodespair.观测点B到航线l的距离为3km．（2）在RtAOD△中，tan6023ODAD°．在RtBOE△中，tan6033OEBE°．53DEODOE．在RtCBE△中，763tan3tan76CBEBECEBECBE°，，°．3tan76533.38CDCEDE°≈．15minh12，12123.3840.6112CDCD≈（km/h）．答：该轮船航行的速度约为40.6km/h【点评】根据已知的边和角，在相应的直角三角形中选择三角函数关系式计算线段的长度即距离.7.【解析】过D点作DF⊥AB于F点，DF的长度便是张明同学是在离该单位办公楼水平距离.[来源:学_科_网Z_X_X_K]【答案】解：方法一：过D点作DF⊥AB于F点在Rt△DEF中，设EF=x，则DF=3x在Rt△ADF中，tan50°=303xx≈1.204分30+x=3x×1.20x≈27.8∴DF=3x≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测