2010年中考数学试题分类汇编58全等三角形

北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站（2010年河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O．连结BB’.(1)请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；(2)求证：△AB’O≌△CDO.【答案】（1）△ABB′,△AOC和△BB′C.（2）在平行四边形ABCD中，AB=DC,∠ABC=∠D由轴对称知AB′=AB，∠ABC=∠AB′C∴AB′=CD,∠AB′O=∠D在△AB′O和△CDO中，'''.ABODAOBCODABCD∴△AB′O≌△CDO2、(2010年福建省德化县)（本题满分10分）已知:如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF.(1)求证:AE=AF.(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证:△AEF为等边三角形.【关键词】三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D.……1分又∵BE=DF，∴ABE≌ADF.……3分∴AE=AF.……4分(2)连接AC,∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD.……6分∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等边三角形.……7分∴30BAECAE,30DAFCAF.∴06CAFCAEEAF.……9分又∵AE=AF∴AEF是等边三角形.……10分3、(2010年燕山)已知：如图，四点B、E、C、F顺次在同一条直线上，A、D两点在直线BC的同侧，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠DFE．求证：AC＝DF．BECFAD北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站【关键词】利用角边角判定三角形全等和三角形全等的性质【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF.……………………………………………1分∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.……………………………………2分在△ABC和△DEF中，又∵∠ACB=∠DFE，∴△ABC≌△DEF.……………………………………………3分∴AC=DF.………………………………………4分4．（2010年北京顺义）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分DAE，AEBE，垂足为E．求证：AD=AE．证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠ADB=90°．…………………1分[来源:学科网]∵AE⊥AB，∴∠E=90°=∠ADB．…………………2分∵AB平分DAE，∴∠1=∠2．………………………3分在△ADB和△AEB中，,12,,ADBEABAB∴△ADB≌△AEB．…………………………4分∴AD=AE．………………………5分5、（2010年福建福州中考）17.（每题7分，共14分）（1）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D。求证：△ABC≌△DEF。（2）如图，在矩形OABC中，点B的坐标为（－2，3）。画出矩形OABC绕点O顺时针旋转90°后的矩形OA1B1C1,并直接写出的坐标A1、B1、C1的坐标。21DECBA北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站、（2010年辽宁省丹东市）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【关键词】全等三角形的判定与性质、矩形的性质【答案】解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC∴Rt△AEF≌Rt△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．18（2010年浙江省东阳县）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．(1)请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论．（2）连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应添加一个条件【关键词】【答案】（1）AD是△ABC的中线理由如下：∵ＢＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＡＤ，∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°又∵ＢＥ＝ＣＦ，∠ＢＤＥ＝∠ＣＦＤ∴△ＢＤＥ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）（２）ＡＢ＝ＡＣ或∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ或ＡＤ⊥ＢＣ或ＡＤ平分∠ＢＡＣ7．（2010日照市）一次函数y=34x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的的点C最多．．有个．第20题图BCAEDF北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站答案：48、（2010重庆潼南县）19.（6分）画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）.已知：求作：答案：已知：线段a、h求作：一个等腰△ABC使底边BC=a，底边BC上的高为h画图（保留作图痕迹图略）9、(2010重庆市潼南县)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD在△ABE和△DAF中3412DAAB∴△ABE≌△DAF-----------------------4分（2）∵四边形ABCD是正方形∴∠1+∠4=900∵∠3=∠4∴∠1+∠3=900∴∠AFD=900----------------------------6分在正方形ABCD中，AD∥BC∴∠1=∠AGB=300在Rt△ADF中，∠AFD=900AD=2∴AF=3DF=1----------------------------------------8分由(1)得△ABE≌△ADF∴AE=DF=1∴EF=AF-AE=13------------------------10分ACBDEFG1423题图24北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站、(2010年浙江省绍兴市)(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的长.(3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).【答案】(1)证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EAB+∠AEB=90°.∵∠EOB=∠AOF＝90°,∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．(2)解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，第23题图1第23题图2第23题图3第23题图4第23题图1北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF=BN,GH=AM，∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°,故由(1)得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，∴GH=EF=4．(3)①8．②4n．11、（2010年宁德市）（本题满分8分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.【答案】解法一：添加条件：AE＝AF，证明：在△AED与△AFD中，∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（SAS）.解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，证明：在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA，∴△AED≌△AFD（ASA）.12、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为13时，求正方形的边长.【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，第23题图2O′NMBDCAEFEADBCNM北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.………………9分理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝23x，EF＝2x.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（2x）2＋（23x＋x）2＝213.解得，x＝2（舍去负值）.∴正方形的边长为2.FEADBCNM