2010年全国初中数学联赛江西省初赛试卷

2010年全国初中数学联赛江西省初赛试卷菁优网©2010-2012菁优网2010年全国初中数学联赛江西省初赛试卷一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1．（7分）化简的结果是（）A．B．C．2D．2．（7分）如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A．12B．13C．26D．303．（7分）设ab≠0，且函数f1（x）=x2+2ax+4b与f2（x）=x2+4ax+2b有相同的最小值u；函数f3（x）=﹣x2+2bx+4a与f4（x）=﹣x2+4bx+2a有相同的最大值v；则u+v的值（）A．必为正数B．必为负数C．必为0D．符号不能确定4．（7分）若关于x的方程x2+2ax+7a﹣10=0没有实根，那么，必有实根的方程是（）A．x2+2ax+3a﹣2=0B．x2+2ax+5a﹣6=0C．x2+2ax+10a﹣21=0D．x2+2ax+2a+3=05．（7分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于N；若AF平分∠BAC，DE⊥AF；记，，，则有（）A．x＞y＞zB．x=y=zC．x=y＞zD．x＞y=z6．（7分）将1，2，3，4，5，6，7，8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数，如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（）A．4种B．8种C．12种D．16种二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）7．（7分）若k个连续正整数之和为2010，则k的最大值是_________．8．（7分）在单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为_________．菁优网©2010-2012菁优网9．（7分）圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为：AB=2，BC=7，CD=6，DA=9，则四边形的面积为_________．10．（7分）在±1±2±3±5±20中，适当选择+、﹣号，可以得到不同代数和的个数是_________．三、解答题（共3小题，满分70分）11．（20分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k=0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．12．（25分）如图，自△ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE．证明：AE=AF．13．（25分）已知a，b，c为正整数，且为有理数，证明为整数．菁优网©2010-2012菁优网2010年全国初中数学联赛江西省初赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1．（7分）化简的结果是（）A．B．C．2D．考点：二次根式的性质与化简．2020100分析：先把最里面的13+变形成完全平方数的形式，就化简为，然后用同样的方法化简，最后分子化为，这样就可得到原代数式的值．解答：解：，，，因此原式=．点评：本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．同时考查了完全平方公式的运用．2．（7分）如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A．12B．13C．26D．30考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质．2020100分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．解答：解：设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C．点评：本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．菁优网©2010-2012菁优网3．（7分）设ab≠0，且函数f1（x）=x2+2ax+4b与f2（x）=x2+4ax+2b有相同的最小值u；函数f3（x）=﹣x2+2bx+4a与f4（x）=﹣x2+4bx+2a有相同的最大值v；则u+v的值（）A．必为正数B．必为负数C．必为0D．符号不能确定考点：二次函数的最值．2020100专题：计算题．分析：本题给出四个函数的解析式及两条重要信息f1（x）与f2（x）有相同的最小值u；f3（x）与f4（x）有相同的最大值v，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题．解答：解：∵f1（x）=x2+2ax+4b=（x+a）2+4b﹣a2≥4b﹣a2，f2（x）=x2+4ax+2b=（x+2a）2+2b﹣4a2≥2b﹣4a2，已知4b﹣a2=u=2b﹣4a2，得﹣2b=3a2①∵ab≠0，∴b＜0，又∵f3（x）=﹣（x﹣b）2+4a+b2≤4a+b2，f4（x）=﹣（x﹣2b）2+2a+4b2≤2a+4b2；已知4a+b2=v=2a+4b2，得2a=3b2，②∵ab≠0，∴a＞0，∴3a﹣3b+2＞0，∴②﹣①得，2（a+b）=3（b2﹣a2），解得a+b=0或（舍去），当a+b=0时，2（u+v）=（6b﹣5a2）+（6a+5b2）=（a+b）[6+5（b﹣a）]=0，∴u+v=0，故选C．点评：本题考查了二次函数的最值，难度较大，做题时关键是将函数的标准形式化为顶点形式．4．（7分）若关于x的方程x2+2ax+7a﹣10=0没有实根，那么，必有实根的方程是（）A．x2+2ax+3a﹣2=0B．x2+2ax+5a﹣6=0C．x2+2ax+10a﹣21=0D．x2+2ax+2a+3=0考点：根的判别式．2020100专题：计算题．分析：由方程x2+2ax+7a﹣10=0无实根，得到△=4a2﹣4×1×（7a﹣10）＜0，即a2﹣7a+10＜0，解得2＜a＜5；再分别计算四个选项中的方程的△，然后判断各方程根的情况．解答：解：∵方程x2+2ax+7a﹣10=0无实根，∴判别式△=4a2﹣4×1×（7a﹣10）＜0，即a2﹣7a+10＜0，（a﹣2）（a﹣5）＜0，∴2＜a＜5，四个选项中的方程的△分别为：A、△=4（a﹣1）（a﹣2），当2＜a＜5，△A＞0，故本选项正确；B、△=4（a﹣2）（a﹣3），当a=2.5，△B＜0，故本选项错误；C、△=4（a﹣3）（a﹣7），当a=4，△C＜0，故本选项错误；D、△=4（a+1）（a﹣3），当a=2.5，△D=＜0，故本选项错误．故选A．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了因式分解以及用它解不等式．菁优网©2010-2012菁优网5．（7分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于N；若AF平分∠BAC，DE⊥AF；记，，，则有（）A．x＞y＞zB．x=y=zC．x=y＞zD．x＞y=z考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形中位线定理．2020100专题：计算题．分析：由角平分线的性质可得，作OP∥AB，交OE于P，则OP为△DBE的中位线，则△OMP∽△AME，即可解题．解答：解：如图，由角平分线，，即，又△AME的角分线与高重合，则△AME为等腰三角形，AM=AE，作OP∥AB，交OE于P，则OP为△DBE的中位线，△OMP∽△AME，，所以x＞y=z．点评：本题考查了角平分线性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△OMP∽△AME是解题的关键．6．（7分）将1，2，3，4，5，6，7，8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数，如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（）A．4种B．8种C．12种D．16种考点：质数与合数．2020100专题：规律型．分析：根据“八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数”可知，圆周上的数应该奇偶相间．根据这个规律，将8个数字排列好即可．解答：解：∵相邻两数和为奇质数，则圆周上的数奇偶相间，∴8的两侧为3，5，而7的两侧为4，6，∴剩下两数1，2必相邻，且1与4，6之一邻接，考虑三个模块【4，7，6】，【5，8，3】，【1，2】的邻接情况，得到8种填法．故选B．菁优网©2010-2012菁优网点评：本题主要考查了质数与合数的定义．二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）7．（7分）若k个连续正整数之和为2010，则k的最大值是60．考点：二元一次方程组的应用．2020100分析：设第一个正整数是a，则第k个正整数是a+k﹣1．根据a+a+1+…+a+k﹣1=2010进行分析求解．解答：解：设第一个正整数是a，则第k个正整数是a+k﹣1．根据题意，得a+a+1+…+a+k﹣1=2010，=2010，k2+（2a﹣1）k=4020，k2+（2a﹣1）k﹣4020=0，因为a，k都是正整数，要求k的最大值，则a越小越好，则﹣4020=﹣60×67，即此时a的最小值是4，k的最大值是60．点评：此题中涉及的公式有：1+2+3+…+n=．善于运用因式分解法进行分析此题的最值．8．（7分）在单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为．考点：相切两圆的性质；扇形面积的计算．2020100分析：首先根据题干条件解出大圆和小圆的半径，再根据三角形面积公式求出大三角形面积，圆面积公式求出圆的面积．解答：解：作图如下：由题意知AC=，∠BAC=30°，解得BC=，设小圆半径为r，sin30°===，解得r=，∴三角形剩下部分的面积S=﹣3×π﹣π=﹣．菁优网©2010-2012菁优网点评：本题主要考查相切两圆的性质等知识点，本题关键解出两个圆的半径．9．（7分）圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为：AB=2，BC=7，CD=6，DA=9，则四边形的面积为30．考点：勾股定理的逆定理；三角形的面积．2020100专题：计算题．分析：首先根据勾股定理的逆定理判断△BCD与△DAB都是直角三角形，则四边形的面积为两个直角三角形的面积和．解答：解：由于72+62=85=92+22，即BC2+CD2=DA2+AB2，所以△BCD与△DAB都是直角三角形，因此，四边形面积=．故答案为：30．点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断△BCD与△DAB都是直角三角形是关键．10．（7分）在±1±2±3±5±20中，适当选择+、﹣号，可以得到不同代数和的个数是24．考点：排列与组合问题．2020100专题：数字问题．分析：从题干数字可知1，2，3，5，20中，有奇数三个，故其代数和必为奇数，找到由1，2，3，5可以得到绝对值≤11的所有奇数，当有20这个数参与时，用20减去这些绝对值小于等于11的数，得到不同数．解答：解：1，2，3，5，20中，有奇数三个，故其代数和必为奇数；由1，2，3，5可以得到绝对值≤11的所有奇数：这是由于1=1﹣2﹣3+5，3=﹣1+2﹣3+5，5=1+2﹣3+5，7=1﹣2+3+5，9=﹣1+2+3+5，11=1+2+3+5；以上各式通乘﹣1，可得﹣1，﹣3，﹣5，﹣7，﹣9，﹣11的表达式；而据题意，表达式中，1，2，3，5及20都必须参与，那么，能得到的整数应是±20加或减1，3，5，7，9，11，即得到十二个正奇数9，11，13，…，31和十二个负奇数﹣9，﹣11，…，﹣