2010年全国高考文科数学试题及答案-浙江

2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。参考公式：如果事件A、B互斥，那么柱体的体积公式[()()()PABPAPBVSh如果事件A、B相互独立，那么其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高()()()PABPAPB锥体的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，13VSh那么n次独立重复试验中事件A恰好发生其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高k次的概率()(1)(0,1,2,)kknknnPkCppkn…球的表面积公式台体的体积公式24SR112213VhSSSS球的体积公式其中12,SS分别表示台体的上、下底面积，343VRh表示台体的高其中R表示球的半径选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设21.4PxxQxxPQ，则（A）12xx（B）31xx（C）14xx（D）21xx（2）已知函数()log1,()1,fxxfaa若则（A）0（B）1（C）2（D）3（3）设i为虚数单位，则51ii（A）23i（B）23i（C）23i（D）23i（4）某程度框图如图所示，若输出的57S，则判断框内为（A）4?k（B）5?k（C）6?k（D）7?k（5）设1S为等比数列na的前n项和，122280SaaS，则（A）－11（B）－8（C）5（D）11（6）设0,2x则“xsin2x1”是“xsinx1”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）若实数x、y满足不等式组330,230,10,xyxyxy则x+y的最大值为（A）9（B）157（C）1（D）715（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）33523cm（B）33203cm（C）32243cm（D）31603cm（9）已知x是函数1()21fxx的一个零点，若20(1,),2(,)axxxx，则（A）12()0,()0fxfx（B）12()0,()0fxfx（C）12()0,()0fxfx（D）12()0,()0fxfx（10）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线22xa－22yb＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，OP=7a，则该双曲线的渐近线方程为（A）x±3y=0（B）3x±y=0(C)x±2y=0(D)2x±y=0非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。（11）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是，.（12）函数f(x)=sin2(2x－4)的最小正周期是.（13）已知平面向量α，β，＝1,=2，α⊥（α－2β），则的值是.（14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n行第n+1列的数是.（15）若正实数x,y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是.（16）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六份递增x%,八月份销售额比七月份递增x％,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是.（17）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点.在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量OGOEOF的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（18）（本题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝34（a2＋b2－c2）.（Ⅰ）求角C的大小;（Ⅱ）求sinA＋sinB的最大值.（19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，z差为d的等差数{an}的前n项和为Sn，满足S2S6＋15＝0.（Ⅰ）若S5＝S.求Sn及a1;（Ⅱ）求d的取值范围.（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中线，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点.（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE;（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.（21）（本题满分15分）已知函数f（x）＝（π－a）（a－b）（a，b∈R，ab）.（Ⅰ）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程;（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.（22）（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线l：x－my－22m＝0上.（Ⅰ）若m＝2，求抛物线C的方程;（Ⅱ）设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂直，垂足为A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分别为G，H.求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.数学（文科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。（1）D（2）B（3）C（4）A（5）A（6）B（7）A（8）B（9）B（10）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。（11）45，46（12）π2(13)10（14）n2+n（15）18（16）20（17）34三、解答题：本大题共5小题，共72分。（18）本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。满分14分。(Ⅰ)解：由题意可知12absinC=34,2abcosC.所以tanC=3.因为0Cπ，所以C=π3.（Ⅱ)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(π-C-A)=sinA+sin(2π3-A)=sinA+32A+12sinA=3sin(A+π6)≤3.当△ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是3.(19)本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。满分14分。(Ⅰ)解：由题意知S0=5-15S-3,a=S-S=-8所以11105,58.Sadad解得a1=7所以S=-3,a1=7(Ⅱ)解：因为SS+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.[故d的取值范围为d≤-22或d≥22.(20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。(Ⅰ)证明：取AD的中点G，连结GF，CE，由条件易知FG∥CD，FG=12CD.BE∥CD,BE=12CD.所以FG∥BE,FG=BE.故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥平面A′DE.（Ⅱ)解：在平行四边形ABCD中，设BC=a,则AB-CD=2A,AD=AE=EB=a,连CE.因为∠ABC=120°,在△BCE中，可得CE=3a,在△ADE中，可得DE=a,在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE,在正三角形ADE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE.由平面ADE平面BCD,可知AM⊥平面BCD,A′M⊥CE.取A′E的中点N，连线NM、NF，所以NF⊥DE,NF⊥A′M.因为DE交A′M于M,所以NF.平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE新成角.在Rt△FMN中，NF=32a,MN=12a,FM=a,则cos/=12.所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为12.(21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。满分15分。(Ⅰ)解：当a=1,b=2时，因为f′(x)=(x-1)(3x-5).故f′(2)=1.又f（2）＝0，所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y＝x－2.（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－23ab），由于ab.故a23ab.所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝23ab.不妨设x1＝a，x2＝23ab，因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，故x3＝b.又因为23ab－a＝2（b－23ab），x4＝12（a＋23ab）＝23ab，所以a，23ab，23ab，b依次成等差数列，所以存在实数x4满足题意，且x4＝23ab.（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。（Ⅰ）解：因为焦点F（2P，0）在直线l上，得p＝m2，又m＝2，故p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.（Ⅱ）证明：因为抛物线C的焦点F在直线l上，所以p，lm2，所以抛物线C的方程为y2＝2m2x.设A（x1，y1），B（x2，y2），由222,22,mxmyymx消去x得y2－2m3y－m4＝0，由于m≠0，故＝4m6＋4m4＞0，且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4，设M，M2分别为线段AA1，BB1的中点，由于212,2,MCCFMHHF可知G（112,33xy），H（222,33xy），所以2421212(),6636xxmyymmm312222,63yym所以GH的中点M2222,363mmm.设R是以线段GH为直径的圆的半径，则R2=14219GH(m2+4)(m2+1)m2.设抛物线的准线与x轴交点N(－22m，0)，则2MN=2242322363mmmm=19m4(m4+8m2+4)=19m4[(m2+1)(m2+4)+3m2]＞19m2(m2+1)(m2+4)=R2.故N在以线段GH为直径的圆外.