2010年名校精华重组数学试题(2)

1数学【2010-5】i=1,sum=0?sum=sum+1/[i×(i+1)]是否输出sumi=i+1结束开始2010年天利名校精粹重组（2）数学试卷一、选择题1．i是虚数单位，113iii（）A．1B．1C．iD．i2．数列na的前n项和为nS，且1,2221aaSSnnn，则数列na的首项为（）A．1或2B．1C．2D．1或23．设P为曲线C:223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,4],则点P横坐标的取值范围为（）A．1[1,]2B．[-1，0]C．[0，1]D．1[,1]24．若||1a，||2b，cab，且ca，则向量a与b的夹角为（）A．30B．60C．120D．1505．已知032:;4:xxxqaxxAp，且非p是非q的充分条件，则a的取值范围为（）A．-1a6B．61aC．61aa或D．61aa或6．若5(12)2(,abab为有理数），则ab（）A．45B．55C．70D．807．若直线220(0,0)axbyab经过圆222410xyxy的圆心，则ba11的最小值是（）A．21B．41C．4D．28、对a、bR，运算“”、“”定义为：ab=,().()aabbab，ab=,().()aabbab，则下列各式其中恒成立的是（）⑴ababab⑵ababab⑶[][]ababab⑷[][]abababA．⑴、⑵、⑶、⑷B．⑴、⑵、⑶C．⑴、⑶D．⑵、⑷9．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是（）2数学【2010-5】A．4iB．5iC．5iD．6i10．设,ab是不共线的两向量，其夹角是，若函数fxxabaxbxR在0,上有最大值，则（）A．ab，且是钝角B．ab，且是锐角C．ab，且是钝角D．ab，且是锐角11．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点)0,6(A和)0,6(C，顶点B在双曲线1112522yx的右支上，则sinsinsinACB等于（）A．56B．65C．56±D．11112．函数y=f（x）的图象过原点且它的导函数g=)(xf的图象是如图所示的一条直线，则y=f（x）图象的顶点（）A．第一象限BC．第三象限D二、填空题13．由抛物线2yx和直线2x所围成图形的面积为________________．14．某剧团原定10个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映军民联手抗震救灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起的概率是_______________15．若直线与直线mymx2)1(01642ymx平行，则m的值为．16．在平面直角坐标系中，点ABC，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()Pxy，是ABC△围成的区域（含边界）上的点，那么当xy取到最大值时，点P的坐标是．三、解答题17．（本题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为,,abc，且满足(2).acBABCcCBCA（1）求角B的大小；（2）若||6BABC，求ABC面积的最大值。3数学【2010-5】GＢＡＤＣＦＥ18．（本小题共12分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如下Ⅰ．现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；Ⅱ．若将频率视为概率，对乙同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X，求X的分布列及数学期望EX．19．（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥C-BGF的体积20．已知数列}{na满足：)(1*NnaSnn，其中nS为数列}{na的前n项和．（Ⅰ）试求}{na的通项公式；（Ⅱ）若数列}{nb满足：)(*Nnanbnn，试求}{nb的前n项和公式nT；（III）设11111nnncaa，数列}{nc的前n项和为nP，求证：212nPn．甲乙9081278753054数学【2010-5】21．（本小题满分12分）设函数xaxxxfln1)(在),1[上是增函数。求正实数a的取值范围；设1,0ab，求证：.ln1bbabbaba22．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点1,2M，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l过点3,0P，交抛物线于,AB两点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。参考答案一、选择题1、A解析：31(1)11111iiiiiiii2、D解析：1,2221aaSSnnn中令1n，得2111)1(2aaa，1a1或23、A解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点P的横坐标为0x,且0'22tanyx（为点P处切线的倾斜角），又∵[0,]4，∴00221x，∴01[1,].2x5数学【2010-5】左视图主视图俯视图4、C解析：本题考查向量、向量的模及向量的夹角等概念，考查向量的运算以及向量垂直的条件．由两向量的夹角公式cos||||abab和已知条件知，这里只需求得ab的值即可．由cab，得acaaab，再由已知求得1ab，1cos2，得120．5、B解析：解法1特殊值法验证，取a=-1，,35,A,,32,B，非p是非q的充分条件成立，排除A，C；取a=7，,113,A,,32,B，非p是非q的充分条件不成立，排除D，选B；解法2集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解，解不等式切入，61,3424,,3,2,4,4__aaaBABaaA，选B；解法3用等价命题构建不等式组求解，非p是非q的充分条件等价命题为q是p的充分条件，集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解，解不等式切入，)3,2(),4,4(BaaA，由q是p的充分条件知6、C解析：本题主要考查二项式定理及其展开式．属于基础知识、基本运算的考查．∵501234501234555555512222222CCCCCC15220202204241292，由已知，得412922ab，∴412970ab．故选C．7、C解析：圆心为)2,1(C，1ba，42)11)((11abbabababa8、C解析：由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案C．9、D解析：答案：该程序的功能是求和11(1)niii,因输出结果51116122356，故选D．10、D解析：∵22fxxabaxbabxabxab在0,上有最大值∴抛物线fx图象开口向下，且对称轴在y轴的右边∴2200abab故选D；11、B解析：由题意可知:A、C是双曲线的两个焦点。由正弦定理sinsinsinACB=bca=ACABBC根据双曲线的定义BC-AB=-2×5=-10，而AC=12，所以sinsinsinACB=6512、A解析：由图像可设f（x）=ax2+bx则)(xf=2ax+b，由图像可知b0，-a2b0即y=f（x）的极大值6数学【2010-5】点x00从而f（x）的极大值a4b20故选A二、填空题13、解析：由定积分的几何意义得，所求面积322200482|233Sxdxx14、答案：2211111126A15、m=1解析：由题意得：m21=4m1≠162m，解得m=116、答案：5,52解析：作图知xy取到最大值时，点P在线段BC上,:210,[2,4],BCyxx(210),xyxx故当5,52xy时,取到最大值．三、解答题17．解：（I）条件可化为(2)coscosacBbC根据正弦定理有(2sinsin)cossincosACBBC∴2sincossin()ABCB，即2sincossinABA因为sin0A，所以2cos2B，即4B．（II）因为||6BABC所以||6CA，即26b，根据余弦定理2222cosbacacB，可得2262acac有基本不等式可知226222(22)acacacacac即3(22)ac，故△ABC的面积123(21)sin242SacBac即当a=c=236时，△ABC的面积的最大值为2)12(3．18．（本小题共12分）解：Ⅰ．本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分。由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为：7数学【2010-5】GＢＡＤＣＦＥ甲：8281798880乙：8577838085（1）派乙参赛比较合适，理由如下：甲的平均分82x甲，乙的平均分82x乙，甲乙平均分相同；又甲的标准差的平方（即方差）210S甲，乙的标准差的平方（即方差）29.6S乙，22SS乙甲_______5分甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，派乙去比较合适；（2）（参照理由1给分）派乙去比较合适，理由如下：从统计学的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率115P乙获得85分以上（含85分）的概率225P，甲的平均分82x甲，乙的平均分82x乙，平均分相同；派乙去比较合适．若学生或从得82分以上（含82分）去分析：甲获得82分以上（含82分）的概率125P乙获得82分以上（含82分）的概率235P，甲的平均分82x甲，乙的平均分82x乙，平均分相同；派乙去比较合适．（同样给此问的分）Ⅱ．记乙同学在一次数学竞赛中成绩高于80分为事件A，3()5PA，X可能取值为：0，1，2，3，其分布列为：X0123P812536125541252712595EX（或X服从二项分布3(3,)5B，EXnp95同样给分）．19．解：（1）证明：∵AD平面ABE，//ADBC，∴BC平面ABE，则AEBC又BF平面ACE，则AEBFAE平面BCE（2）由题意可得G是AC的中点，连接FGBF平面ACE，则CEBF，8数学【2010-5】而BCBE，F是EC中点在AEC中，//FGAE，//AE平面BFD（3）//AE平面BFD，//AEFG，而AE平面BCE，FG平面BCFG是AC中点，F是CE中点，//FGAE且112FGAE，BF平面ACE，BFCE，RtBCE中，122BFCECF，12212CFBS1133CBGFGBCFCFBVVSFG20．解：（Ⅰ）nnaS1①111nnaS②②-①得nnnaaa11)(,21*1Nnaann又1n时，111aa211a)(,)21()21(21*1Nnannn（Ⅱ）)(,2*NnnanbnnnnnnT223222