2010年名校精华重组数学试题(4)

1数学2010年天利名校精华重组（4）数学试卷一、选择题1．若集合A＝{1,2,x,4},B＝{x2,1},A∩B＝{1,4},则满足条件的实数x的值为（）A．4B．2或-2C．-2D．22．若△ABC的内角A满足322sinA,则sinA+cosA等于（）A．315B．315C．35D．353．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x，2x分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s，2s分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A．1212,xxssB．1212,xxssC．1212,xxssD．1212,xxss3275538712455698210乙甲4．平面α⊥平面β,α∩β＝l,点P∈α,点Q∈l,那么PQ⊥l是PQ⊥β的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若函数y＝f(x)在R上单调递增,且f(m2)＞f(-m),则实数m的取值范围是（）A．(-∞,-1)B．(0,+∞)C．(-1,0)D．(-∞,-1)∪(0,+∞)6．设0,0,24ababab，则（）A．ab有最大值8B．ab有最小值8C．ab有最大值8D．ab有最小值87．把函数xxysin3cos的图象沿向量a=(-m,m)(m＞0)的方向平移后,所得的图象关于y轴对称,则m的最小值是（）A．6B．3C．32D．658．正方体ABCD—A′B′C′D′中,过顶点A′与正方体其他顶点的连线与直线BC′成60°角的条数为（）A．0B．1C．2D．39．在区间[π,π]内随机取两个数分别记为,ab，则使得函数222()2πfxxaxb有零点的概率为（）2数学A．78B．34C．12D．1410．由等式223144322314)1()1()1(xbxbxaxaxaxax34(1)bxb定义),,,(),,,(43214321bbbbaaaaf，则),1,2,3,4(f等于（）A．)4,3,2,1(B．)0,4,3,0(C．)2,2,0,1(D．)1,4,3,0(11．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(０，12)成立，则a的最小值是（）A．０B．－２C．－52D．－３12．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆12222byax(ab0)的右焦点交椭圆于A．B两点,P为右准线上任意一点,则∠APB为（）A．钝角B．直角C．锐角D．都有可能二、填空题13．设z1是复数,112zizz(其中1z表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为___________________．14．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出,MN的值分别为．15．若不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集是空集,则实数a的取值范围为______________．16．等比数列{an}的公比为q，前n项的积为Tn，并且满足a11，a2009·a2010-10，（a2009-1）（a2010-1）0，给出下列结论①0q1;②a2009·a20111;③T2010是Tn中最大的;④使得Tn1成立的最大的自然数是4018．其中正确结论的序号为．（将你认为正确的全部填上）三、解答题17．某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有103数学道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．（Ⅰ）求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率；（Ⅱ）求某选手抽到体育类题目数的分布列和数学期望E．18．外轮除特许外，不得进入离我国海岸线12海里以内的区域，如图:我国某海岛海岸线是半径为6海里的圆形区域，在直径的两个端点A．B设立两个观察点，已知一外轮在点P处，测得,BAPABP．（1）当30,120时，该外轮是否已进入我领海主权范围内?（2）角,应满足什么关系时？就应向外轮发出警告，令其退出我海域19．如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，90BAC°，O为BC中点。（Ⅰ）证明：SO平面ABC；（Ⅱ）求二面角ASCB的余弦值。OSBACABP4数学20．已知数列}{na中，22aa（a为常数）；nS是}{na的前n项和，且nS是nna与na的等差中项。（I）求31,aa；（II）猜想na的表达式，并用数学归纳法加以证明。21．已知抛物线24(0)yaxa的焦点为F，以点(4,0)Aa为圆心，|AF|为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M．N两点。（I）求证：点A在以M．N为焦点，且过点F的椭圆上；（II）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。22．设函数322()fxxaxaxm(0)a（1）若1a时函数()fx有三个互不相同的零点，求m的范围；（2）若函数()fx在1,1内没有极值点，求a的范围；5数学（3）若对任意的3,6a，不等式()1fx在2,2x上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题1．答案：C解析：由A∩B＝{1,4},B＝{x2,1},得x2＝4,得x＝±2．又由于集合元素互异，∴x＝-2．2．答案:A解析:在△ABC中,032cossin2AA,∴sinA＞0,cosA＞0．∴2)cos(sincossinAAAAAAAAcossin2cossin2231535321．3．答案：B；解析：1215xx，2222222222221211(761167)(872278)88ss4．答案:C解析:根据线面垂直．面面垂直的判定定理可知,PQ⊥l是PQ⊥β成立的充要条件．5．答案:D解析:∵y＝f(x)在R上单调递增,且f(m2)＞f(-m),∴m2＞-m,即m2+m＞0．解得m＜-1或m＞0,即m∈(-∞,-1)∪(0,+∞)．6．答案：B；解析：∵24241aababba∴2242425128111aaabaaaaa≥；6数学而24252611611aabaaaa≤．7．答案:C解析:)3cos(2sin3cosxxxy,y=cosx(x∈R)的图象关于y轴对称,将y=cosx的图象向左平移π个单位时,图象仍关于y轴对称．故选C．8．答案:C解析:过顶点A′与正方体其他顶点的连线与直线BC′成60°角的棱有A′C′．A′B,共2条．9．答案：B；解析：若使函数有零点，必须22224π0ab≥，即222πab≥．在坐标轴上将,ab的取值范围标出，有如图所示22-2-2-aOb当,ab满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．于是概率为22π314π4．10．答案：D解析：43243212344321(1)(1)(1)(1)xxxxxbxbxbxb，这是一个恒等式，当1x时，41b，选D．（本题可以求出1234,,,bbbb的值，较麻烦；利用恒等式代值检验较方便．）11．答案：Ｃ解析：与x2＋ax＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加．１．分离变量，有a≥－(x＋1x)，x∈(０，12］恒成立．右端的最大值为－52，故选Ｃ．2．看成关于a的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a的范围．3．设f(x)＝x2＋ax＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论．4．f(x)＝x2＋1，g(x)＝－ax，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52．5．利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立．故选Ｃ．12．答案:C解析:如图,设M为AB的中点,过点M作MM1垂直于准线于点M1,分别过A．B作AA1．BB1垂直于准线于A1．B1两点．则.2||2||2||||2||||||111ABeABeBFeAFBBAAMM∴以AB为直径的圆与右准线相离．∴∠APB为锐角．二、填空题13．答案：1解析：设z1=x+yi(x,y∈R),则yixz1．∴z2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i．∵x-y=-1,∴y-x=1．7数学14．答案：13，21；解析：依据程序框图画出运行n次后,,MNi的值．n123i234M2513N38214次运行后43i，于是有13,21MN15．答案:(-∞,1］解析:不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集为|x-3|+|x-4|＜a的解集为．又|x-3|+|x-4|的最小值为1,故a∈(-∞,1］．16．答案：①②④解析：由条件易知0q1，a20091，a20101且有a2009·a20101，由等比数列的性质得：a2009·a2011=a201021；T4018=a1a2···a4017a4018=（a2009·a2010）20091，而T4019=a1a2···a4018a4019=a201040191,因此④正确。三、解答题17．解：（Ⅰ）记A：该选手第二次抽到的不是科技类题目；B：该选手第一次抽到科技类而第二次抽到非科技类；C：该选手第一次和第二次都抽到非科技类题目．则1111377622101021427()()()()909010CCCCPAPBCPBPCAA．（Ⅱ）的取值为0，1，2．383107(0)15APA；122831037(1)15AAPA；21383101(2)15AAPA故的分布列为：012mP157157151于是，的期望53151215711570E．18．解：（1）取AB得中点O，连结OP30,12030APB，12ABPB在三角形PBO中，2226122612cos120OP=2526718OP故该外轮已经进入我领海主权范围内．（2）在三角形APB中，,BAPABP，AB=12，由正弦定理得：12sinsinsin()PAPB8数学OSBAC12sin12sin,sin()sin()APBP在三角形POB与PBO中，设POB2222cos()APAOPOAOPO，2222cosBPBOPOBOPO，AOBO222222APBPAOPO222222POAPBPAO，当18PO时得：222222212sin12sin26218sin()即222sinsin2sin()．19．证明：（Ⅰ）由题设ABACSBSC===SA，连结OA，ABC△为等腰直角三角形，所以22OAOBOCSA，且AOBC，又SBC△为等腰三角形，故SOBC，…………3分且22SOSA，从而222OASOSA＝222OASOSA．所以SOA△为直角三角形，SOAO．又AOBOO．所以SO平面ABC．…………6分（Ⅱ）以O为坐标原点，射线OBOA，,OS分别为x轴．y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz．设(100)B，，，则(100)(010)(001)CAS，，，，，，，，．平面BCS的法向量1n=(0,1,0)平面ACS的法向量2n=(-1,1,1)∣COS2n,1n∣=∣2121nnnn∣=33所以二面角ASCB的余弦值为33．…20．解：（I）∵nS是nna与na的等差中项，∴nanaSnn2当2n时，aaaa22)(2221，解得aa1当3n时，aaaaa3