2010年名校精华重组数学试题(5)

1数学第4题2010年天利名校精华重组（5）数学试卷第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．定义集合运算：|,,ABzzxyxAyB．设1,2,0,2AB，则集合AB的所有元素之和为（）A．0；B．2；C．3；D．62．若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为（）A．{a2k+1}B．{a3k+1}C．{a4k+1}D．{a6k+1}3．为考虑广告费用与销售额之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：广告费用x（千元）1．04．06．010．014．0销售额y（千元）19．044．040．052．053．0现要使销售额达到6万元，则需广告费约为（）A．16千元B．15千元C．18千元D．19千元4．如图给出的是计算201614121的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i10B．i10C．i20D．i205．在ABC中，若sin2sin2AB，则ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形6．圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R,θ≠2＋kπ，k∈Z）的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定的7．连续掷两次骰子分别得到的点数为m、n，则点P（m,n）在直线x+y=5左下方的概率为（）A．61B．41C．121D．918．在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（）A．BC//平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC2数学9．给定函数y＝f（x）＝2(2)212xe（x∈R）及函数y＝（x）＝2212xe（x∈R），则关于函数f（x）及（x）的下列论断中都正确的命题序号组合是（）①曲线y＝f（x）与y＝（x）的最高点的纵坐标相等②曲线y＝f（x）和y＝（x）与x轴之间图形的面积相等③以曲线y＝（x）为概率密度曲线的总体的方差与以曲线y＝f（x）为概率密度曲线的总体的方差相等④以曲线y＝（x）为概率密率曲线的总体的期望与以曲线y＝f（x）为概率密度曲线的总体的期望相等A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④10．若不等式|ax+2|6的解集为（－1，2），则实数a等于（）A．8B．2C．－4D．－811．设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a·b）c－（c·a）b=0②|a|－|b||a－b|③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（）A．①②B．②③C．③④D．②④12．已知函数()()()fxxaxb（其中ab）的图象如下面右图所示，则函数()xgxab的图象是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13．若直线2ya与函数|1|(01)xyaaa且的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______．14．已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为．15．函数)3(logxya－1（1,0aa）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，则nm21的最小值为3数学16．某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是（结果用最简分数表示）．三、解答题17．（本小题满分12分）已知：A、B、C是ABC的内角，,,abc分别是其对边长，向量3,cos1,cos,12mAnA，nm．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若32,cos3aB，求b的长．18．（本小题满分12分）某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是152，求抽奖者获奖的概率；（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用表示获奖的人数，求的分布列及E．19．（本小题满分12分）数列1111{}22nnnaaaa满足，．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设In(1)xx在x0时成立，数列{}na的前n项和为Sn，证明2ln()2nnSn．4数学20．（本小题满分12分）已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且14CGCD．（1）求证：EF⊥B1C；（2）求二面角F—EG—C1的大小．21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率22e，左、右焦点分别为1F、2F，点)3,2(P满足2F在线段1PF的中垂线上．（1）求椭圆C的方程;（2）如果圆E：2221()2xyr被椭圆C所覆盖，求圆的半径r的最大值．22．（本小题满分14分）已知a＞0，函数f（x）＝ax－bx2．（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2b；（2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件5数学参考答案一、选择题1．D解析：正确解答本题,必需清楚集合AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知AB=4,2,0，故应选择D2．B解析：∵k∈N*，∴当k=0，1，2，…7时，利用an+8=an，数列{a3k+1}可以取遍数列{an}的前8项．评述：本题考查了数列的基本知识和考生分析问题、解决问题的能力．3．B解析：x－＝7，y－＝41．6，Σ5i＝1xiyi＝1697，Σ5i＝1xi2＝349，b＝1697－5×7×41.6349－5×49≈2．3，a＝41．6－2．3×7＝25．5，故回归直线方程y＝2．3x＋25．5．当y＝6万元＝60千元时，60＝2．3x＋25．5，解得x＝15千元．4．A解析：当n=22时，要退出循环，此时i=115．D解析：∵sin2sin22cos()sin()0,ABABAB∴,2ABAB或6．C解析：圆2x2＋2y2＝1的圆心为原点（0，0）半径r为22，圆心到直线xsinθ＋y－1＝0的距离为：1sin11sin|1|22d∵θ∈R，θ≠2＋kπ，k∈Z∴0≤sin2θ＜1∴d＞22∴d＞r∴圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R，θ≠2＋kπ，k∈Z）的位置关系是相离．7．A解析：点P（m,n）的个数有36个,而满足题意的点有以下6个:（1,1）,（1,2）（2,1）（1,3）,（2,2）,（3,1）所求的概率为618．C解析：由DF//BC可得BC//平面PDF，故A正确。若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确。由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确。9．B10．C解析：∵|ax+2|6，∴－6ax+26，－8ax4当a0时，有axa48，而已知原不等式的解集为（－1，2），所以有：6数学1824aa．此方程无解（舍去）．当a0时，有axa48，所以有1428aa解得a=－4，当a=0时，原不等式的解集为R，与题设不符（舍去），故a=－4．11．D解析：①平面向量的数量积不满足结合律．故①假；②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（b·c）a－（c·a）b］·c=（b·c）a·c－（c·a）b·c=0，所以垂直．故③假；④（3a+2b）（3a－2b）=9·a·a－4b·b=9|a|2－4|b|2成立．故④真．12．A解析：由()()()fxxaxb的图象知1,1bao，所以函数()xgxab的图象是A二、填空题13．102a解析：1(0,)2；画出函数|1|(01)xyaaa且的草图知，若直线2ya与函数|1|(01)xyaaa且的图象有两个公共点，则021a，即102a。14．P（4,－4）解析：|AB|为定值，△PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）．由图可知，点P在x轴下方的图象上∴y=－2x,∴y′=－x1,∵kAB=－21,∴－211x∴x=4,代入y2=4x（y0）得y=－4．∴P（4,－4）15．8解析：函数)3(logxya－1图象恒过定点A（-2,-1）,12012nmnm,844)2)(21(21nmmnnmnmnm,当且仅当nmmn4即mn2时取等号,16．2601解析:某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是340138CC2601三、解答题17．解析:（Ⅰ）1cos,3Am=1cos,3A1,2cosAn=1,sinA7数学∵nm01cossin3AA216sinA∵,66,6566,0AAA3A．（Ⅱ）在ABC中，3,2,cos33AaB36311cos1sin2BB由正弦定理知：sinsinabAB62sin423sin332aBbA423b18．解：（1）设“世博会会徽”卡有n张，由2210nCC=152，得n=4故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为3121026CC（2）可能取的值为0，1，2，3，4，则.8116)32()0(4P8132)32(31)1(314CP8124)32()31()2(2224CP81832)31()3(314CP811)31()4(4P012348数学P811681328124818811E0×8116+1×8132+2×8124+3×818+4×811=3481108法二（1）设“海宝”卡有n张，由152210210CCn得078192nnn=6或n=13（舍去）故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为3121026CC（2）)31,4(~B.)4,3,2,1,0()32()31()(44kCkPkkk01234P811681328124818811E34314np解：（1）方法一：∵1111122nnnnaaaa，∴12111111nnnnaaaa∴1{}1na是首项为–2，公差为–1的等差数列．∴111nna，所以1nnan方法二：234234345aaa，，，猜测1nnan下用数学归纳法进行证明①当n=1时，由题目已知可知112a，命题成立；②假设当1(1)nkkkN，时成立，即1kkak，那么当111112221kkknkakakk，，也就是说，当1nk时命题也成立．综上所述，数列{an}的通项公式为1nnan．（2）∵ln(1)0xxx