2010年广东增城中学“鹤岭杯”高二数学竞赛试卷

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛试卷题号一二三合计（11）（12）（13）（14）（15）得分评卷员考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．1．已知集合,Pab，{|}MAAP，则集合P与集合M的关系为（）．A．PMB．PMC．PMDPM2.已知函数.01,2,10,12xxxxfx则)]5.0([ff等于()．A．5.0B．1C．5.0D．13．若四面体的一条棱长为x，其余的棱长都是1，它的体积为Fx，则Fx在其定义域上（）．A．是增函数，但无最大值B．是增函数，且有最大值C．不是增函数，但有最大值D．不是增函数，且无最大值4.已知方程22(2)20xxmxxn的四个根组成一个首项为14的等差数列，则||mn()．A．1B．34C．12D．38二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5.设△ABC的三边长分别是a、b、c，外心、垂心分别为O、H，那么______OAOBOCOH.班级姓名考号学校金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com6．设实数x、y满足2025020xyxyy≤≥≤，则22xyuxy的取值范围是__________.7.数列{}na满足01a,naann21,求数列{}na的通项公式.8．多项式942121xxx展开式中x的奇次项系数之和为.9．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为__________.10.设,{,|3}mRMxyyxm，{,|cos,sin,02}Nxyxy，且1122{cos,sin,cos,sin}MN，则m的取值范围为.三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分）已知函数2()2sin()3cos21,4fxxxxR．（1）若函数()()hxfxt的图象关于点(,0)6对称，且(0,)t，求t的值；（2）设:[,],:()342pxqfxm，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.12．（本小题满分15分）如图，已知正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，将ADE沿DE折起，如图所示，记二面角ADEC的大小为(0)．（1）证明：//BF平面ADE；（2）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论,并求角的余弦值．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com13．（本小题满分20分）已知椭圆)1(1222ayax，直线l过点,0Aa和点,Bata0t交椭圆于M，直线MO交椭圆于N．（1）用,at表示△AMN的面积S；（2）若[1,2]t，a为定值，求S的最大值．14．（本小题满分20分）如图，在xOy平面上有一系列点111222()()()nnnPxyPxyPxy，，，，，，，，对每个自然数n，点nP位于函数2(0)yxx的图象上．以点nP为圆心的⊙nP与x轴都相切，且⊙nP与⊙1nP又彼此外切，若11x，且1()nnxxnN．（1）求证：数列1nx是等差数列；（2）设⊙nP的面积为12nnnSTSSS，，求证：3nT．AACBDEFBCDEFABMNOxy金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com15．（本小题满分20分）已知函数2211xfxxRxx．（1）求函数fx的单调区间和极值；（2）若2220tttexexe≥对满足1x≤的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；（3）求证：对任意正数a、b、、，恒有2222abababff≥22ab.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛答卷学号姓名分数一．选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在对应的位置.）题号1234答案二．填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．）5．6．7．8．9．10．三．解答题：(本大题共5小题，共90分．请在相应位置作答，要求写出解答过程．)11．（本小题满分15分）金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com12、（本小题满分15分）AACBDEFBCDEF金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第7页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com13、（本小题满分20分）14、（本小题满分20分）ABMNOxy金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第8页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com15．(本小题满分20分)金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第9页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛参考答案一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．1．A2．C3．D4．B3、D将两个边长都为1的正三角形一条边重合，一个三角形不动，另一个三角形由重合的位置逐渐张开，当张开到两三角形垂直位置时体积最大，再继续张开则体积逐渐减少。故选C。当两三角形趋向重合时，0Fx，故值域为1(0,]8二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．5．答：0。如图，作直径BD，因AD⊥AB，∴AD∥CH。同理AH∥CD于是四边形AHCD是平行四边形。所以OCOBOAODOCOADCOAAHOAOH)(∴0OHOCOBOA。也可根据特殊值法，令△ABC为等边三角形得答案。6．102,37．.,,,1为偶数为奇数nnnnan8．解设94222201222121fxxxxaaxaxax…令1x，40122213faaaa…；①令1x，0123212211faaaaaa…②①-②得，413521312aaaa…，所以奇次项系数之和为41.9．解引入自变量n和因变量s，列表得n12345…s361015…在猜想一次关系未获通过的情况下，调整为二次函数关系2sanbnc，把1,1,2,3,3,6分别代入解之，得关系式为21122snn，或化为12nns。以4,10,5,15验证均获通过。因此可求得第24个与第22个三角形数分别为300，253，故这两个三角形数的差为47．10．2,33,2ADCBOH金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第10页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分）解：解：（Ⅰ）∵2()2sin()3cos211cos(2)3cos2142fxxxxxsin23cos22sin(2)3xxx∴()()2sin(22)3hxfxtxt，∴()hx的图象的对称中心为(,0),26ktkZ.又已知点(,0)6为()hx的图象的一个对称中心，∴()23ktkZ.而(0,)t，∴3t或56.（Ⅱ）若p成立，即[,]42x时，22[,]363x，()[1,2]fx，由()33()3fxmmfxm，∵p是q的充分条件，∴3132mm，解得14m，即m的取值范围是(1,4)．12．（本小题满分15分）(１)EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB//FD,且EB=FD,四边形EBFD为平行四边形.BF//ED,EFAEDBFAED平面而平面//BF平面ADE.（2）法一:如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.ACD为正三角形,AC=ADCG=GDG在CD的垂直平分线上,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AHDE,所以AHD为二面角A-DE-C的平面角.即GAH设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=3a,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形,AGEFAEAF32AGa在RtADE中,AHDEAEAD25AHa25aGH1cos4GHAH.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第11页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作AGEF,垂足为G.ACD为正三角形,F为CD的中点,AFCD又因EFCD,所以CDAEF平面AGAEF平面AGCD又AGEF且,,BCDECDEFFCDBCDEEF平面平面AGBCDE平面G为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AHDE,所以AHD为二面角A-DE-C的平面角.即GAH设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=3a,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形,AGEFAEAF32AGa在RtADE中,AHDEAEAD25AHa25aGH1cos4GHAH.法三:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作AGEF,垂足为G.ACD为正三角形,F为CD的中点,AFCD又因EFCD,所以CDAEF平面CDBCDE平面AEFBCDE平面平面又AEF=EF,BCDEAGEF平面平面AGEFAGBCDE平面G为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AHDE,所以AHD为二面角A-DE-C的平面角.即GAH设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=3a,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形,AGEFAEAF32AGa金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第12页共14页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com在RtADE中,AHDEAEAD25AHa25aGH,1cos4GHAH.13．（本小题满分20分）解：（1）易得l的方程为)(2axty…1分由1)(2222yaxaxty，得222440atyaty解得0y或4422taaty即点M的纵坐标4422taatyM2||AMNAOMMSSSOAy22244tata…