2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)(数学[理])

2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2}D．{0,1,2}解析：∵A＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|0≤x≤16，x∈Z}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0,1,2}．答案：D2．已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝()A.14B.12C．1D．2解析：∵z＝3＋i1－3i2＝3＋i1－23i－3＝3＋i－2－23i＝3＋i－21＋3i＝3＋i1－3i－2×1＋3＝3－3i＋i＋3－8＝23－2i－8＝3－i－4，∴z＝3＋i－4，∴z·z＝|z|2＝14.答案：A3．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2解析：∵y′＝x′x＋2－xx＋2′x＋22＝2x＋22，∴k＝y′|x＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：A4．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()解析：法一：(排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为2，排除A、D，由角速度为1知，当t＝π4或t＝5π4时，P点落在x轴上，即P点到x轴的距离为0，故选C.法二：由题意知P(2cos(t－π4)，2sin(t－π4))，∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2|sin(t－π4)|，当t＝0时，d＝2；当t＝π4时，d＝0.故选C.答案：C5．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数．p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是()A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4解析：p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．∴真命题是q1，q4.答案：C6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以Eξ＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200.答案：B7．如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于()A.54B.45C.65D.56解析：由框图知：k＝1时，S＝0＋11×2；k＝2时，S＝11×2＋12×3；当k＝3时，S＝11×2＋12×3＋13×4；当k＝4时，S＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5；满足条件k5，故还需进行下一步运算，当k＝5时，S＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56，不满足条件k5，故输出S，选D.答案：D8．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)0}＝()A．{x|x－2或x4}B．{x|x0或x4}C．{x|x0或x6}D．{x|x－2或x2}解析：当x0时，－x0，∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8，又f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8，∴f(x)＝x3－8，x≥0－x3－8，x0.∴f(x－2)＝x－23－8，x≥2－x－23－8，x2，x≥2x－23－80或x2－x－23－80，解得x4或x0.答案：B9．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝()A．－12B.12C．2D．－2解析：∵cosα＝－45且α是第三象限的角，∴sinα＝－35，∴1＋tanα21－tanα2＝cosα2＋sinα2cosα2cosα2－sinα2cosα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα22cosα2－sinα2cosα2＋sinα2＝1＋sinαcos2α2－sin2α2＝1＋sinαcosα＝1－35－45＝－12.答案：A10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2解析：三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处，连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R，由题意知：O1B＝23×3a2＝3a3，所以半径R2＝(a2)2＋(3a3)2＝7a212，所以球的表面积是S＝4πR2＝7πa23.答案：B11．已知函数f(x)＝|lgx|，0x≤10，－12x＋6，x10.若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)解析：由a，b，c互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间(0,1)，(1,10)，(10,12)上，不妨设a∈(0,1)，b∈(1,10)，c∈(10,12)，由f(a)＝f(b)得lga＋lgb＝0，即lgab＝0，所以ab＝1，所以abc∈(10,12)．答案：C12．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1解析：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：x21a2－y21b2＝1x22a2－y22b2＝1，两式作差得：y1－y2x1－x2＝b2x1＋x2a2y1＋y1＝－12b2－15a2＝4b25a2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是x24－y25＝1.答案：B第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分10f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分10f(x)dx的近似值为________．解析：由均匀随机数产生的原理知：在区间[0,1]满足yi≤f(xi)的点都落在了函数y＝f(x)的下方，又因为0≤f(x)≤1，所以由0≤x≤10≤y≤1y≤fx围成的图形的面积是N1N，由积分的几何意义知10f(x)dx＝N1N.答案：N1N14．正视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种)解析：正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形．答案：三棱锥、四棱锥、圆锥(其他正确答案同样给分)15．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意知：4－a2＋1－b2＝r2b－1a－2＝－1|a－b－1|2＝r，解之得：a＝3，b＝0，r＝2，所以圆的方程是：(x－3)2＋y2＝2.答案：(x－3)2＋y2＝216．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝12CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，又因为AD＝2，所以S△ADC＝12AD·DCsin60°＝3－3，所以DC＝2(3－1)，又因为BD＝12DC，所以BD＝3－1，过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝12DC·AE＝3－3，所以AE＝3，又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝3，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，在直角三角形AEC中，EC＝23－3，所以tan∠ACE＝AEEC＝323－3＝2＋3，所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.答案：60°三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)由已知得，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1，而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．18．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0，n0)，则D(0，m,0)，E(12，m2，0)．可得PE＝(12，m2，－n)，BC＝(m，－1,0)．因为PE·BC＝m2－m2＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知条件可得m＝－33，n＝1，故C(－33，0,0)，D(0，－33，0)，E(12，－36，0)，P(0，0,1)．设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，则n·HE＝0，n·HP＝0，即12x－36y＝0，z＝0.因此可以取n＝(1，3，0)．由PA＝(1,0，－1)，可得|cos〈PA，n〉|＝24，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为24.19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.84