2010年江西高考理科数学试题及答案

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2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每个小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的。1.已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为()A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2【答案】D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法,得2()(1)xixiy,没有虚部,x=1,y=2.2.若集合A=|1xxxR,,2B=|yyxxR,,则AB=()A.|11xxB.|0xxC.|01xxD.【答案】C【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合A、B;{|11}Axx,{|0}Byy,解得AB={x|01}x。在应试中可采用特值检验完成。3.不等式22xxxx的解集是()A.(02),B.(0),C.(2),D.(0)(-,0),【答案】A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数.20xx,解得A。或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。4.2111lim1333nx()A.53B.32C.2D.不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和,然后对和取极限。1133lim()1213nn5.等比数列na中,12a,8a=4,函数128()()()fxxxaxaxa,则'0f()A.62B.92C.122D.152【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有x项均取0,则'0f只与函数fx的一次项有关;得:412123818()2aaaaaa。6.82x展开式中不含..4x项的系数的和为()A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质,重点考查实践意识和创新能力,体现正难则反。采用赋值法,令x=1得:系数和为1,减去4x项系数80882(1)1C即为所求,答案为0.7.E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点,则tanECF()A.1627B.23C.33D.34【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法1:约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦定理得4cos5ECF,解得3tan4ECF解法2:坐标化。约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C(0,3)利用向量的夹角公式得4cos5ECF,解得3tan4ECF。8.直线3ykx与圆22324xy相交于M,N两点,若23MN,则k的取值范围是A.304,B.304,,C.3333,D.203,【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考察数形结合的运用.解法1:圆心的坐标为(3.,2),且圆与y轴相切.当|MN|23时,由点到直线距离公式,解得3[,0]4;解法2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可,不取,排除B,考虑区间不对称,排除C,利用斜率估值,选A9.给出下列三个命题:①函数11cosln21cosxyx与lntan2xy是同一函数;②若函数yfx与ygx的图像关于直线yx对称,则函数2yfx与12ygx的图像也关于直线yx对称;③若奇函数fx对定义域内任意x都有(2)fxfx,则fx为周期函数。其中真命题是A.①②B.①③C.②③D.②【答案】C【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同,①错误;排除A、B,验证③,[2()](2)fxfxfx,又通过奇函数得()fxfx,所以f(x)是周期为2的周期函数,选择C。10.过正方体1111ABCDABCD的顶点A作直线L,使L与棱AB,AD,1AA所成的角都相等,这样的直线L可以作A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断,重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类:通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1,第二类:在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等,有3条,合计4条。11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测。方法一:在10箱子中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p和2p,则A.1p=2pB.1p2pC.1p2pD。以上三种情况都有可能【答案】B【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业,作为旧大纲的最后一年高考,本题给出一个强烈的导向信号。方法一:每箱的选中的概率为110,总概率为0010101(0.1)(0.9)C;同理,方法二:每箱的选中的概率为15,总事件的概率为0055141()()55C,作差得1p2p。12.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为00StS,则导函数'ySt的图像大致为【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识,重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数取零,排除C;总面积一直保持增加,没有负的改变量,排除B;考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导数的意义,判断此时面积改变为突变,产生中断,选择A。二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。请把答案填在答题卡上。13.已知向量a,b满足1a,2b,a与b的夹角为60°,则ab【答案】3【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式,以及向量三角形法则、余弦定理等知识,如图,,aOAbOBabOAOBBA,由余弦定理得:3ab14.将6位志愿者分成4组,其中两个各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有种(用数字作答)。【答案】1080【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识,重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组,考虑到有2个是平均分组,得221164212222CCCCAA两个两人组两个一人组,再全排列得:221146421422221080CCCCAAA15.点00()Axy,在双曲线221432xy的右支上,若点A到右焦点的距离等于02x,则0x=【答案】2【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化,读取a=2.c=6,red3rd,200023()2axxxc16.如图,在三棱锥OABC中,三条棱OA,OB,OC两两垂直,且OAOBOC,分别经过三条棱OA,OB,OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为1S,2S,3S,则1S,2S,3S的大小关系为。【答案】321SSS【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力,通过补形,借助长方体验证结论,特殊化,令边长为1,2,3得321SSS。三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知函数21cotsinsinsin44fxxxmxx。(1)当m=0时,求fx在区间384,上的取值范围;(2)当tan2a时,35fa,求m的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题.解:(1)当m=0时,22cos1cos2sin2()(1)sinsinsincossin2xxxfxxxxxx1[2sin(2)1]24x,由已知3[,]84x,得22[,1]42x从而得:()fx的值域为12[0,]2(2)2cos()(1)sinsin()sin()sin44xfxxmxxx化简得:11()[sin2(1)cos2]22fxxmx当tan2,得:2222sincos2tan4sin2sincos1tan5aaaaaaa,3cos25a,代入上式,m=-2.18.(本小题满分12分)某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过...的通道,直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。(1)求的分布列;(2)求的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景,重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。(1)必须要走到1号门才能走出,可能的取值为1,3,4,61(1)3P,111(3)326P,111(4)326P,22111(6)()1323PA分布列为:(2)11117134636632E小时1346P1316161319.(本小题满分12分)设函数lnln2(0)fxxxaxa。(1)当a=1时,求fx的单调区间。(2)若fx在01,上的最大值为12,求a的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。解:对函数求导得:11()2fxaxx,定义域为(0,2)(1)单调性的处理,通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当a=1时,令2112()0+1=0022xfxxxxx得()当(0,2),()0,xfx为增区间;当(22),()0,xfx,为减函数。(2)区间01,上的最值问题,通过导数得到单调性,结合极值点和端点的比较得到,确定待定量a的值。当01x,有最大值,则必不为减函数,且11()2fxaxx0,为单调递增区间。最大值在右端点取到。max1(1)2ffa。20.(本小题满分12分)如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,23AB。(1)求点A到平面MBC的距离;(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识,同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一:(1)取CD中点O,连OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD平面BCD,则MO⊥平面BCD,所以MO∥AB,A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E,则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=3,MO∥AB,MO//面ABC,M、O到平面ABC的距离相等,作OHBC于H,连MH,则MHBC,求得:OH=OCsin600=32,MH=152,利用体积相等得:2155AMBCMABCVVd。(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线.由(1)知,O是BE的中点,则BCED是菱形.作BF⊥EC于F,连AF,则AF⊥EC,∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角,设为.因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°.sin603BFBC,tan2ABBF,25sin5所以,所求二面角的正弦值是255.【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理,一般采用射影、垂线、平行线等特殊

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