2010年湖北高考文科数学试题及答案

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共4页，三大题21题。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合M={1,2,4,8}，N={xx是2的倍数}，刚MN=A．{2,4}B．{1,2．4}C．{2,4,8}D．{1,2,4,8}2．函数()fx=3sin()24x，xR的最小正周期为A．2B．C．2D．43．已知函数f（x）=3xlogx,x0,2,x0,则f19f=A．4B．14C．-4D．-144．用a,b,c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若,,abbc则ac；③若a∥,b∥,则a∥b;④若,ab,则a∥b．其中真命题的序号是A．①②B．②③C．①④D．③④5．函数0.51log(43)yx的定义域为A．3(,1)4B．3(,)4C．(1,)D．3(,1)(1,+)46．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A．65B．56C．5654322D．654327．已知等比数列na中，各项都是正数，且1a、121a、22a成等差数列，则91078aaaa=A．1+2B．1-2C．3+22D．3-228．已知ABC和点M满足MA+MB+MC=0．若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则m=A．2B．3C．4D．59．若直线y=x+b与曲线y=3－24xx,有公共点，则b的取值范围是A．122,122C．12,3B．1,122D．122,310．记实数nxxx,,,21中的最大数为maxnxxx,,,21,最小数为minnxxx,,,21．已知ABC三边的边长为a,b,c（abc）,定义它的倾斜度为max,,min,,,abcabcbcabca则“1”是“ABC为等边三角形”的A．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件B．充要条件D．既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。答案错位，书写不清，模棱两可均不得分。11．在（1—x2）10的展开式种，x4的系数为_______。12．已知z=2x—y，式中变量x，y满足约束条件12yxxyx，，，则z的最大值为_______。13．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0．9则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_________（用数字作答）．14．圆柱形容器内盛有高度为8厘米的水，若放入三个相同的球，（球的半径和圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_________cm．15．已知椭圆C：2212xy的两焦点为F1,F2,点P（0x,0y）满足2200012xy，则12PFPF的取值范围为________，直线0012xxyy与椭圆C的公共点个数为_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16、（本小题满分12分）已知函数22cossin()2xxfx，11()sin224gxx。（Ⅰ）函数()fx的图像可由函数()gx的图像经过怎样的变化得到？（Ⅱ）求函数()()()hxfxgx的最小值，并求使()hx取得最小值的x的集合。17．（本小题满分12分）为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）。（1）在答题卡上的表格中填写相应的频率；（2）估计数据落在［1．15，1．30）中的概率为多少；（3）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中的鱼的总条数。18．（本小题满分12分）如图。在四面体ABOC中，OCOA,OCOB,AOB=1200,且OA=OB=OC=1．（Ⅰ）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ．证明:PQOA;（Ⅱ）球二面角O-AC-B的平面角的余弦值。19．（本小题满分12分）已知某地今年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房．（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1．15=1．6）20．（本小题满分13分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。（1）求曲线的C方程：（2）是否存在正数m，对于过点M（m,0）且与曲线C有两个焦点A、B的任一直线，都有FAFB0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。21．（本小题满分14分）设函数,231)(22cbxxaxxf其中0.a．曲线()yfx在点(0,(0))pf处的切线方程为1y。（1）确定,bc的值（2）设曲线()yfx在点1122(,())(,())xfxxfx及处的切线都过点（0,2）．证明：当12xx时，12()()fxfx；（3）若过点（0,2）可作曲线()yfx的三条不同切线，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.A卷：1.C2.D3.B4.C5.A6.A7.C8.B9.D10.BB卷：1.B2.A3.C4.C5.D6.B7.D8.B9.C10.A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分25分.11．4512．513．0.947714．415．0),22,2[三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．本小题主要考查三角函数的恒等变换、图象变换以及最值等基础知识和运算能力.（满分12分）解：（1）).4(2sin21)22sin(212cos21)(xxxxf所以要得到)(xf的图象只需要把)(xg的图象向左平移4个单位长度，再将所得的图象向上平移41个单位长度即可.（2）,41)42cos(22412sin212cos21)()()(xxxxgxfxh当kkx(242Z）时，)(xh取得最小值.42214122)(xh取得最小值时，对应的x的集合为kkxx,83|{Z}.17．本小题主要考查频率分布直方图、频数、概率等基本概念和总体分布的估计等统计方法.（满分12分）解：（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距×（频率/组距），故可得下表分组频率[1.00，1.05)0.05[1.05，1.10)0.20[1.10，1.15)0.28[1.15，1.20)0.30[1.20，1.25)0.15[1.25，1.30)0.0218．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）解法一：（Ⅰ）在平面OAB内作CNNABOAON连接于交,，在OBOAAOBAOB且中120,，.,3,21,3090120,,21,30,,30的中点为又中在中在ANQAQABANONNBOBNNOBONBANONOANAONRtOBAOAB在PQANACQPCAN,,,,的中点分别为中∥CN。由,:,CONOAONOAOCOA平面知.,CNOACONNC平面又PQ由∥CN，知.PQOA（Ⅱ）连结PN，PO。由.:,OABOCOBOCOAOC平面知..:,.,,..:的平面角为二面角知根据三垂线定理的中点为中在等腰内的射影在平面是平面知又由BACOOPNNPACOPACACPCOARtAOCNPOPAOCONOAON.51563022cos,630,,3330tan,.22,1,22PNPOOPNONOPPNPONRtOAONAONRtOPOAOCCOARt中在中在中在等腰解法二：（1）取O为坐标点，以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系xyzO（如图所示）。则A（1，0，0），C（0，0，1），B（).0,23,21),0,23,23(),21,0,21(,ABPACP中点为又由已知，可得).0,63,21(31ABAQ..0)0,0,1()21,63,0().21,63,0(),0,63,21(OAPQOAPQOPOQPQAQOAOQ故又（Ⅱ）记平面ABC的法向量,,),,(21ABnCAnnnnnn则由)1,0,1(CA且得.02323,02231nnnn故可取).1,3,1(n又平面OAC的法向量为).0,1,0(e.5315)0,1,0()1,3,1(,cosenBACO平面角的平面角是锐角，记为θ，则.515cos19．本小题主要考查阅读材料、提取信息、建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力。（满分12分）解：（Ⅰ）第1年末的住房面积).(1,110112mbaba第2年末的住房面积).(1.221.1)10111()1011(1011)1011(22mbababba（Ⅱ）第3年末的住房面积].)1011(10111[)1011(1011)]10111()1011([222babba第4年末的住房面积])1011()1011(10111[)1011(322ba第5年末的住房面积])1011()1011()1011(10111[)1011(4322bababa66.11.111.111.155依题意可知，,3.166.1aba解得,20ab所以每年拆除的旧房面积为).(202ma20．本小题主要考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基础知识、同时考查推理运算的能力。（满分13分）解：（Ⅰ）设),(yxp是曲线C任意一点，那么点),(yxp满足：).0(4).0(1)1(222xxyxxyx化简得（II）设过点M（m，0）（m0）的直线l与曲线C的交点为).,(),,(22`11yxByxA设l的方程为,0)(16,0444,222mtmtyyxymtyxmtyx得由于是myytyy442121①).,1(),,1(1211yxFByxFA又21212121211)()1)(1(0yyxxxxyyxxFBFA②又42yx，于是不等式②等价于01)44(442221212221yyyyyy01]2)[(4116)(2122121221yyyyyyyy③由①式，不等式③等价于22416tmm④对任意实数t，42t的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于.223223,0162mmm即由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0FBFA，且m的取值范围是).223,223(21．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数等基本知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力.（满分14分