2010年湖南省高中数学竞赛试题

二0一0年湖南省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分）1．若a+b+c=0，则化简a(b1+c1)+b(c1+a1)+c(a1+b1)+3的值为（）A.1B.－1C.±1D.02.如果方程x2+5x+k=0的两根之差为1，那么k等于（）A．－1B.1C.±1D.53.过点(1,2)，且在两个坐标轴上截距相等的直线必有（）A.1条B.2条C.3条D.不能确定4．一个长方体的箱子，它的十二条棱长之和是140，并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21，那么这个箱子的总表面积是（）A．776B.784C.798D.8005．用[x]表示不超过x的最大整数（如[1.7]=1，[0.25]=0，[－3.4]=－4），则满足[－3.8x]=[－3.8]x+1的自然数x有（）A.2个B.3个C.4个D.多于4个6．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示：则下列说法中正确的是（）A.bababababcabcaB.bababababcabcaC.bababcabcababaD.bcabcababababa7.三个质数的倒数和为1001311，那么这三个质数的和是（）A．311B.31C.29D.358.设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2－6x－3y的最大值是（）A.227B.20C.18D.不存在9．设函数f(x)=x4＋2x的最大值为M，最小值为m，则M与m的乘积为（）A.0B.72C.63D.6210.已知集合A={(x,y)|32yx=a＋1}，B={(x,y)|(a2－1)y＋(a－1)x=0}的交集是空集，那么的所有可能的取值是（）A.±1B.－1C.±1,－35D.－1,－35二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）11．分解因式：（x2＋x＋1）（x2＋x＋2）－12=.10-1cba12．已知5|3a－2b|＋(4b－12)2=0，则41a2b－1－(a3＋21ab＋4)=.13.已知点P1（x1，2010），P2（x2，2010）是在二次函数y=ax2+bx+10(a≠0)图象上的两个点，则二次函数在x=x1＋x2时的值为.14.已知f(x)=aaaxx（其中a是大于0的常数），则f(20111)＋f(20112)＋…+f(20112010)=.三、解答题（本大题共5个小题，共66分）15．（本小题满分12分）当a为何值时，方程组62384yxyax的解为正数？16．（本小题满分12分）如图，两个较小的圆⊙O1、⊙O2在大圆⊙O内滚动时始终保持和内切，切点分别为P、Q。MN是⊙O1和⊙O2的外公切线。已知⊙O1、⊙O2和⊙O的半径分别为r1、r2和R。求证22PQMN为定值。17．（本小题满分14分）已知三个集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0},C={x|x2－bx＋2=0}。问：同时满足BA，A∪C=A成立的实数a,b是否存在？若存在，求出a,b；若不存在，请说明理由。OO1O2MPQN18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，若F，E分别为PC，BD的中点。（1）求证EF∥平面PAD；（2）求证平面PDC⊥平面PAD；（3）求二面角B—PD—C的正切值。19．（本小题满分14分）已知圆C的圆心为（1，－2），且圆外一点P（4，2）与圆上点的最小距离为2。（1）求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l交⊙C于A、B两点，且满足以AB为直径的圆过原点O，求直线l的方程。FEDABCP