2010年福建高考数学二轮专题复习教案―极限思想

雨竹林高考资讯网福建高考招生资讯网年福建高考二轮专题复习必备资料极限与数学归纳法主干知识整合：要求了解数列极限和函数极限的概念。掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限。理解数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。经典真题感悟1．在等差数列{an}中，a1＝125，第10项开始比1大，记t＝2limnnnaSn，则t的取值范围是A．475tB．837525tC．437550tD．437550t1D2用数学归纳法证*111111111()234212122nNnnnnn的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为_____2.221121kk__________3．设常数0a，421axx展开式中3x的系数为32，2lim()nnaaa_____14.已知131lim331nnnna，则a的取值范围是.42a5已知函数003)(xexkxxfx，若)(lim0xfx存在，则k的值为______1___，6.有以下四个命题：（1）2n＞2n+1(n≥3)(2)2+4+6+…+2n=n2+n+2(n≥1)(3)凸n边形内角和为f(n)=(n－1)π(n≥3)(4)凸n边形对角线条数f(n)=2)2(nn(n≥4)．其中满足“假设n=k(k∈N,k≥n0).时命题成立，则当n=k+1时命题也成立.”但不满足“当n=n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是10.(2)（3）雨竹林高考资讯网福建高考招生资讯网(1）xlim（))((bxax－x）；(2)0limxbbxaax2222．（a＞0）2．(2006陕西)n→∞lim12n(n2+1－n2－1)等于()A．1B．12C．14D．03．已知a、b、c是实常数，且nlimcbncan=2,nlimbcncbn22=3,则nlimacncan22的值是A．2B．3C．21D．64．（2006重庆）213(21)lim21nnnn。5．将无限循环小数21.0化为分数是_________6．2222464646()()...()575757lim545454()()...()656565nnnnn=_____例2设数列{an}的首项a1=a≠41，且11为偶数21为奇数4nnnanaan,记2114nnba，n＝＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求123lim()nnbbbb．分析：观察、归纳、猜想、证明是数列问题常见的思考方法.解：（I）a2＝a1+41=a+41，a3=21a2=21a+81；（II）∵a4=a3+41=21a+83,所以a5=21a4=41a+316,雨竹林高考资讯网福建高考招生资讯网=a1－41=a－41,b2=a3－41=21(a－41),b3=a5－41=41(a－41),猜想：{bn}是公比为21的等比数列·证明如下：因为bn+1＝a2n+1－41=21a2n－41=21(a2n－1－41)=21bn,(n∈N*)所以{bn}是首项为a－41,公比为21的等比数列·（III）11121(1)12lim()lim2()1141122nnnnbbbbba.误点警示:掌握无穷等比数列求和公式.例3.数列na中,前n项和112nnnaSa且*0,nanN.(Ⅰ)求1,2aa的值,并猜想na的表达式.(Ⅱ)证明猜想的正确性解：111111112anasa时2111220,0,31aaaa1又则同理得，253a猜想2121nann（2）证明：n=1时，131a假设n=k时，猜想正确，即2121kakk又11111122kkkkkkkaaassaa12321211211kakkkk即n=k+1时也成立*2121nnNann对都有雨竹林高考资讯网福建高考招生资讯网已知等比数列xn的公比为q，则有211lim1qqxnn，则首项x1的取值范围是（）A1,2121,0B33,0C321,0D31,2121,0解析：由211lim1qqxnn可知21110011qxqq或或211111qxq，故知D符合题意。2下面四个命题中：（1）若an是等差数列，则an的极限不存在；（2）已知1nna，当n时，数列an的极限为1或-1。（3）已知Aannlim，则Aannlim。（4）若nann111，则1010n，数列an的极限是0。其中真命题个数为（A）A1B2C3D43.如图，抛物线21yx与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为121nPPP，，，，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为121nQQQ，，，，从而得到1n个直角三角形11QOP△，212121nnnQPPQPP△，，△·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师时，求这些三角形的面积之和的极限.134.已知函数111111)(2xxcbxxmxxbxaxf在1x处连续，求实数mcba,,,的值。雨竹林高考资讯网福建高考招生资讯网解析：因为)(xf在1x处连续，则)(lim1xfx存在，即)(lim1),(lim1xfxfxx存在且相等，)(lim1xfx存在，则bxa2中必定含有因式1x。即1x是方程02bxa的根，故有ba，则axaxaxfxx21lim)(lim211，同样)(lim1xfx存在，则cbx含有因式1x，则即1x是方程0cbx的根，即有bc，故有1)11(lim)(lim11bxbbxxfxx，故有12ba，故有31,31bca，再由mfxfxfxfxxx)1()(lim)(lim)(lim111，故有32m。5.在数列{an}中a1＝1，当n≥2时，an，Sn，Sn－12成等比数列。（1）求a2，a3，a4并推出an的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论；（3）求数列{an}所有项的和。5.解∵an，Sn，Sn－12成等比数列∴Sn2＝an·(Sn－12)(n≥2)(*)（1）把a1＝1，S2＝a1＋a2＝1＋a2代入（*）式得：a2＝－23把a1＝1，a2＝－23，S3＝13＋a3代入(*)得：a3＝－215。同理可得：a4＝－235由此可以推出：an＝1(n＝1)－2(2n－3)(2n－1)(n＞1)（2）（i）当n＝1，2，3，4时，由（*）知猜想成立。(ii)假设n＝k(k≥2)时，ak＝－2(2k－3)(2k－1)成立。故Sk2＝－2(2k－3)(2k－1)·(Sk－12)(2k－3)(2k－1)Sk2＋2Sk－1＝0∴Sk＝12k－1或Sk＝－12k－3（舍去）由Sk＋12＝ak＋1·(Sk＋1－12)得(Sk＋ak＋1)2＝ak＋1·(ak＋1＋Sk－12)雨竹林高考资讯网福建高考招生资讯网1(2k－1)2＋ak＋12＋2ak＋12k－1＝ak＋12＋ak＋12k－1－12ak＋1ak＋1＝－2[2(k＋1)－3][2(k＋1)－1]即n＝k＋1时，命题也成立。由(i)(ii)可知，an＝1(n＝1)－2(2n－3)(2n－1)(n≥2)对一切n∈N成立。（3）由（2）得数列前n项的和Sn＝12n－1故所有项和S＝nlimSn＝0注（1）本题综合了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识，所采用的方法是归纳、猜想、证明，是数列中最常见的题型，也是高考热点。（2）对于{an}的通项还可以这样来求：∵Sn2＝an(Sn－12)∴Sn2＝(Sn－Sn－1)(Sn－12)1Sn－1Sn－1＝2，故{1Sn}是以{1S1}为首项，12为公差的等差数列故1Sn＝1S1＋2(n－1)＝2n－1Sn＝12n－1，an＝1(n＝1)－2(2n－3)(2n－1)(n≥2)对于含有an，Sn的关系式中，常将an用Sn－Sn－1（n≥2）代（或Sn＋1－Sn用an＋1代），化成Sn，Sn＋1（或an，an＋1）的递归关系式。6．（本题满分13分）函数bxaxf211)(的定义域为R，且).(0)(limNnnfn(Ⅰ)求证：;0,0ba(Ⅱ)若]1,0[)(,54)1(在且xff上的最小值为21，求证：nnfff)()2()1()(21211Nnn.6.解⑴()fx定义域为R，120,2,0.0,bxbxaaxRaa即而若则()1lim()0,0nfxfna与矛盾雨竹林高考资讯网福建高考招生资讯网()lim12bxnnfna1(021)1(21)210,0,010(21)bbbbbaba即故⑵由⑴知111()[0,1],(0),,1,(1)212fxfafa在上为增函数即2141141,2,2.()11254121414xbbxxxbfxakN当时11()11.1422kkfk2111(1)(2)(3)()()222222nffffnn111.22nn7.已知函数f(x)的定义域为［0，1①对任意x∈［0，1］，总有f(x)≥2；②f(1)=3；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-2.(1)求f(0)的值；(2)试求f(x)(3)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，Sn=-21(an-3)，n∈N*.求证：f(a1)+f(a2)+…+f(an)≤23+2n-1321n.7.(1)令x1=x2=0，则f(0)≥2f(0)-2，∴f(0)≤2.又对任意x∈［0，1］，总有f(x)≥2，∴f(0)=2.(2)任取x1，x2∈［0，1］且x1x2，则0x2-x1≤1，∴f(x2-x1)≥2.∴f(x2)=f(x2-x1+x1)≥f(x2-x1)+f(x1)-2≥f(x1)，∴f(x)的最大值为f(1)=3.(3)∵Sn=-21(an-3)(n∈N*)，∴Sn-1=-21(an-1-3)(n≥2)，∴an