高中数学必修五详细讲义(题型全面)

数学必修五解三角形1.正弦定理：2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆的半径）（1）变形公式：①化边为角：2sin2sin2sinaRAbRBcRC，，；②化角为边：RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin③::sin:sin:sinabcABC（2）基本题型：①已知一边两角，解三角形：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理，有解时只有一解．②已知两边和其中一边的对角，解三角形：先由正弦定理求另一边的对角,再由内角和定理与正弦定理求其余的边与角．注意，在求解三角形内角时，容易丢解或产生增解．2、三角形面积定理：111sinsinsin222SabCbcAcaBCBARRabcSsinsinsin242题型1：三角形的面积例1、在△ABC中,A=120，b=1，面积为3，则sinsinsinabcABC=例2、在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB，4cos,35Ab.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.例3、在ABC△中，5cos13B，4cos5C．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设ABC△的面积332ABCS△，求BC的长．例4、在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=13。（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积。3.三角形内角和定理：()ABCCAB222CAB222()CAB三角形中的基本关系:-tanCB)+(Atan-cosC,B)+cos(AsinC,=B)+sin(A；②2cos2sinCBA,2sin2cosCBA；CBACBAtantantantantantan③在△ABC中，AcCabcoscos，…在△ABC中，BABAsinsin，…4、余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC变形：222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab（1）基本题型：①已知三边，解三角形：由余弦定理和内角和定理求角，在有解时只有一解．②已知两边及夹角，解三角形：先由余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角，有一解．（2）余弦定理是勾股定理的推广：判断C为锐角222cba，C为直角222cba，C为钝角222cba题型2、利用正弦余弦定理解三角形例1、在△ABC中，若b=1，c=3，23C，则a=。例2、△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=31，b=3sinB，则a等于例3、在△ABC中，角A，B，C的对边为a,b,c，若3a，2b，45B，则角A=A．30°B．30°或105°C．60°D．60°或120°例4、在△ABC中，角ABC，，的对边分别为abc，，，若222()tan3acbBac，则角B的值为（）A．6B．3C．6或56D．3或23例5、在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC的最大值.例6、在ABC△中，角ABC，，所对的边分别为abc，，．若(3)coscosbcAaC，则cosA例7、在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为.例8、在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求b题型3：正余弦定理和向量例1、已知ABC中，角ABC、、的对边分别为abc、、，且满足(2)coscosacBbC。（I）求角B的大小；（Ⅱ）设(sin,1),(1,1)mAn，求mn的最小值。例2、向量(31)，m，(cossin)AA，n．若mn，且coscossinaBbAcC，则角B．例3、在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值．例4、已知向量)cos2sin7,cossin6(),cos,(sinba，设函数baf)(.(Ⅰ)求函数)(f的最大值；(Ⅱ)在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，()6fA，且ABC的面积为3，232bc,求a的值.例5、设ABC是锐角三角形，,,abc分别是内角,,ABC所对边长，并且22sinsin()sin()sin33ABBB。(Ⅰ)求角A的值；(Ⅱ)若12ABAC27a，求,bc（其中bc）。5.三角形形状的确定：基本方法：化边为角或化角为边．基本思路：寻求边与边之间的数量关系，或求出角的大小．常用用正弦定理进行代换，找出三角形的边、角关系，然后作出判断．例1、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：①B=60°,b2=ac；②b2tanA=a2tanB；③sinC=BABAcoscossinsin④(a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).例2、在ABC中，若)sin()cos(21)sin(CACBBA，则ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形6.已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）AbasinbaAbsinbaba一解两解一解一解例1、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1,b=2,c=3B．a=1,b=2,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100°C．b=c=1,∠B=45°三角函数综合例1、已知abc，，为ABC△的内角ABC，，的对边，满足ACBACBcoscoscos2sinsinsin，函数()sinfxx(0)在区间[0,]3上单调递增，在区间上单调递减.（Ⅰ）证明：acb2；（Ⅱ）若Afcos)9(，证明ABC△为等边三角形．CBAcabB2aCAB1babaCABaBACb数列数列是特殊的函数解析法：an＝f(n)图象法表示概念列表法通项公式等差数列与等比数列的类比an＝a1qn－1an＝a1＋(n－1)d递推公式通项公式数列anam＝aparan＋am＝ap＋ar求和公式等差数列等比数列前n项和Sn＝n(a1＋an)2性质前n项积(an＞0)Tn＝(a1an)n判断an≠0，q≠0Sn＝na1，q＝1a1(1－qn)1－q，q≠1①an＋1－an＝f(n)累差迭加法②an+1an＝f(n)累商迭乘法构造等比数列*③an＋1＝pan＋q常见递推类型及方法*④pan＋1an＝an－an＋1构造等差数列*⑤an+1＝pan＋qn化为an＋1qn=pq·anqn－1＋1转为③公式法：应用等差、等比数列的前n项和公式倒序相加常见求和方法分组求和拆项求和错位相减数列的概念与简单表示法知识点：1．数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.2.数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：，或简记为。其中是数列的第3.数列的通项公式如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.题型1：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:(1)0,,,,…；(2)1,,,,…；(3)9,99,999,9999,…；(4)6,1,6,1,….练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1),,,,,…；(2)0,1,0,1,0,1,…；(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…；题型2：由通项公式求项例2．设数列满足，写出这个数列的前五项。练习：根据下列数列的通项公式，写出它的第五项.（1）；（2），（3），题型3：数列的项的判定例3．已知数列的通项公式,试问下列各数是否为数列的项，若是，是第几项？(1)94；(2)71.练习：已知数列的通项公式,（1）若，试问是第几项？（2）56和28是否为数列的项？题型4：由数列的递推关系求项例4.设数列满足：，，写出这个数列的前五项。练习：已知数列满足：，，，写出前6项.等差数列知识点：等差数列的定义对于数列,若(，,为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。题型5：直接利用等差数列的定义、公式求解例1、（1）求等差数列3，7，11，……的第11项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.练习1、求等差数列8，5，2…的第21项2、－20是不是等差数列0，，－7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.题型6：根据公式列方程（组）求解例1．已知等差数列中，，，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。例2、等差数列中,,,,求的值.例3、已知等差数列，，，则=___________。例4、等差数列na的前n项的和8a，且336,4Sa则公差d=（）例5、等差数列na中，74321,0,aaa则公差d（）知识点二：等差中项如果,,成等差数列，那么叫做与的等差中项，即.知识点三：等差数列的通项公式1、等差数列的通项公式首相为，公差为的等差数列的通项公式为：2、等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)等差数列中，，令,则：（1）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。①当时，一次函数单调增，为递增数列；②当＜0时，一次函数单调减，为递减数列。知识点三：等差数列的性质等差数列中，公差为，则①若，且,则，特别地，当时.②下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为.题型7：利用等差数列的性质例1、已知等差数列中，若,,求的通项公式。例2、在等差数列中，，则=__________例3、在等差数列中，，则=___________例4、等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4+a5=30,a6+a7+a8+a9+a10=80,则a11+a12+a13+a14+a15=____.【其他】例5、在等差数列na中357911100aaaaa，则9133aa例6、已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m－n|等于A.1B.43C.21D.83知识点四：等差数列的前项和公式1、等差数列的前项和公式例1、已知公差大于零的等差数列}{na的前n项和为nS，且满足：.22,1175243aaaa（1）求通项na；（2）若数列}{nb是等差数列，且cnSbnn，求非零常数c.2．与的关系故.题型8、与通项的关系例1、已知数列的前项和公式，求通项.（1），(2).例2、已知数列的前项和，求通项.练习、已知数列的前项积，求通项3、等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由，令，，则：（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点。（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点。①当时有最小值②当时，有最大值题型9、等差数列前项和的最值问题例1、设数列｛an｝的通项为an＝2n－7（n∈N*），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝．例2、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.例3、在等差数列na中，171819936aaaa，其前n项的和为nS.（1）求nS的最小值，并求出nS取最小值时n的值；（2）求123nnTaaaa、例4、已知数列是等差数列，,，试问为何值时，数列