解三角形及不等式练习题

不等式及解三角形练习题一．选择题：1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋1xB．y＝x2＋1x2C．y＝x2＋2＋1x2＋2D．y＝sinx＋1sinx解析x2＋1x2≥2x2·1x2＝2，当x＝±1时，取等号．答案B2．(2012·海南一模)当x1时，关于函数f(x)＝x＋1x－1，下列叙述正确的是()A．函数f(x)有最小值2B．函数f(x)有最大值2C．函数f(x)有最小值3D．函数f(x)有最大值3解析∵x1，∴x－10.1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3.当且仅当x＝2时，取等号．答案C3．设x，y∈R，a1，b1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为()A．2B.32C．1D.12解析∵ax＝by＝3，∴x＝loga3，y＝logb3，∴1x＋1y＝1loga3＋1logb3＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3(a＋b2)2＝log33＝1.答案C4．(2012·福建)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A．－1B．1C.32D．2解析作出可行域如答图18－7所示．答图18－7由图可知，当直线x＝m过直线y＝2x与x＋y－3＝0的交点A(1,2)时，m取得最大值，此时m＝1.答案B5．(2011·安徽)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为()A．1，－1B．2，－2C．1，－2D．2，－1解析作出不等式|x|＋|y|≤1对应的平面区域如练答图18－5.练答图18－5由图易知当目标函数的图像经过点(0,1)时，取得最大值2，经过点(0，－1)时，取得最小值－2.答案B6．在△ABC中，a2tanB＝b2tanA，则△ABC是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形解析由正弦定理得sin2AsinBcosB＝sin2BsinAcosA得sin2A＝sin2B.∴2A＝2B，或2A＋2B＝π.即A＝B，或A＋B＝π2.答案D7．11·四川)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.0，π6B.π6，πC.0，π3D.π3，π解析由正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc.由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，于是b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，可得cosA≥12.注意到在△ABC中，0Aπ，故A∈0，π3.答案C8．(2012·荆州模拟)在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则△ABC的形状是()A．直角三角B．等腰直角三角C．等边三角形D．等腰三角形解析由已知得lgsinA＝lg2cosBsinC.∴sinA＝2cosBsinC.即sin(B＋C)＝2cosBsinC.sinBcosC＋cosBsinC＝2cosBsinC，即sin(B－C)＝0.∴B＝C.答案D9．(2012·唐山模拟)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析由正弦定理，得sinB＝bsinCc＝40×3220＝31，∴此三角形无解．答案C10．在ABC中，若():():()5:6:7bccaab，则cosB的值为（）．A．1116B．1114C．911D．78二．解答题：11.(13分)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度.(2)求sinα的值.12．(1)已知12a60,15b36，求a－b，ab的取值范围；(2)已知－1a＋b3，且2a－b4，求2a＋3b的取值范围．解(1)∵15b36，∴－36－b－15，1361b115.又12a60，∴－24a－b45，13ab4.(2)设2a＋3b＝m(a＋b)＋n(a－b)，则m＋n＝2，m－n＝3，∴m＝52，n＝－12.又－1a＋b3，且2a－b4，∴－5252(a＋b)152，－2－12(a－b)－1.∴－9252(a＋b)－12(a－b)132，即－922a＋3b132.13．(2011·福建)设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标为12，32，求f(θ)的值；(2)若点P(x，y)为平面区域Ω：x＋y≥1，x≤1，y≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．解(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得sinθ＝32，cosθ＝12.于是f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如练答图18－10所示．练答图18－10其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，于是0≤θ≤π2.又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.14．(2012·江苏)在△ABC中，已知AB→·AC→＝3BA→·BC→.(1)求证：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝55，求A的值．解(1)证明：∵AB→·AC→＝3BA→·BC→，∴|AB→||AC→|cosA＝3|BA→||BC→|cosB，即cbcosA＝3cacosB，即bcosA＝3acosB.由正弦定理，得sinBcosA＝3sinAcosB.又cosBcosA≠0，∴tanB＝3tanA.(2)解：∵cosC＝55，∴0Cπ2.∴sinC＝255，tanC＝2.∴tan[π－(A＋B)]＝2，∴tan(A＋B)＝－2.即tanA＋tanB1－tanAtanB＝－2.由(1)知tanB＝3tanA，∴4tanA1－3tan2A＝－2.解得tanA＝1，或tanA＝－13.∵0Aπ2，∴tanA＝1，A＝π4.