高中数学必修四基础详细讲义(整理了一个暑假的)

第一章三角函数一、任意角和弧度制弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式L=|α|R，扇形面积公式||21212RlRS，其中α为弧所对圆心角的弧度数。1弧度(1rad)57.3.题型1：角度制与弧度制的互化例1、把下列角化为弧度制：(1)210，(2)252，(3)155，(4)235，(5)315，(6)500例2、把下列角化为角度制：315（），3(2)8，53（3），3(4)10，(5)1.5，(6)2.3特殊角对应关系：180角度030456090180270360弧度06432322题型2：圆心角公式、弧长公式、扇形面积公式圆心角lr，弧长03602,lr，12Slr扇形212SR【注意：公式中的角必须是弧度制】例3、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是3，求这个圆心角所对的弧长。例4、.已知一个扇形的圆心角是120，半径为8,求它的弦长、周长和面积。例5、已知扇形的周长为8，圆心角为2，求该扇形的半径、弧长和面积。例6、已知扇形周长为20cm，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？例7、已知扇形的面积为S，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值.二、任意角象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。题型3：三角函数的正负和象限角例1、若cos0，sin0，则角的终边在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例2、已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限练习：如果是第二象限的角，则0180是第象限角。例3、在0到2范围内，与角43终边相同的角是（）A.6B.3C.23D.43例4、（1）已知sin0cos0且，则是第象限角。（2）已知sincos0，则是第象限角。（3）已知cos0tan0且，则是第象限角。例7、sin2·cos3·tan4的值是（填正数、负数、0、不存在）例8、在（0，2π）内满足x2cos=－cosx的x的取值范围是_________．例9、已知锐角终边上一点的坐标为2323sin,cos,求角=（）（A）3（B）3（C）32（D）32题型4、与2的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.例1、若是第二象限角，则2是第_____象限角例2、如果是第三象限的角，那么,,22是第几象限角。三、任意角的三角函数利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。设P(x，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22yx|OP|r，则rysin，rxcos，xytan。题型3：三角函数的定义例1、已知角的终边上一点的坐标为(2,4)，求sin,cos,tan。例2、已知角的终边上一点的坐标为(,4)x，且3cos5，求cos,tan。例3、已知角的终边上一点的坐标为(3,4)，求sin,cos,tan。例4、已知角的终边上一点的坐标为(4,)x，且3sin5，求cos,tan。四、同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sincos1（2）商数关系：sintancos题型5：同角函数的基本关系式例1、已知是第二象限角，且2sin3，求cos,tan。例2、已知是第四象限角，且3cos4，求sin,tan。例3、已知是第三象限角，且4tan3，求sin,cos。例4、已知是第三象限角，且1sincos5xx，求sincosxx和sincosxx的值。例5、已知tan3x，求sincos2sincos①，223sincos2sincos②，22sin2cosxx③练习：已知,2tan求下列各式的值。（1）4sin2cos5cos3sin（2）2222sin3cos1sinsincos（3）sincos（4）22cos5cossin3sin2五、三角函数的诱导公式利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即2k与α之间函数值的关系（k∈Z），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。题型6：诱导公式sin()sin①，cos()cos，tan()tan【正角与负角的转化】sin(2)sink②，cos(2)cosk，tan(2)tank【周期转化】sin()sin③，cos()cos，tan()tansin()sin④，cos()cos，tan()tan【钝角转化成锐角】sin()cos2⑤，cos()sin2【正弦与余弦转化】例1、化简①sin(300)②cos570③5sin3④sin480⑤5cos()3⑥7tan4题型7：用基本关系式与诱导公式化简求值例2、化简下列各式：①costan②2tan1sin；cos)21sin()60tan()60sin(240tan225cos的值是例3例4、（1）已知：tan3，求2cos()3sin()4cos()sin(2)的值（2）已知3sin5，是第四象限角，求tan[cos(3)sin(5)]（3）化简sin()sin()()sin()cos()nnnZnn例5、（1）化简：2sin812cos82（2）．化简cos10(tan103)sin50（3）cos40sin50(13tan10)sin701cos40；（4）21tan1sin（5）212sin10cos10cos101cos170（6）212sin190sin80cos(350)1cos170例6、化简：（1）80cos40cos20cos.（2）202020202020202020cos5cos15cos25cos35cos45cos55cos65cos75cos85（3）180cos......3cos2cos1cos【与其他知识综合】例7：（1）若A、B、C分别为ABC的内角，则下列关系正确的是（）ACBAsin)sin(BACBcos)cos(CCBAtan)tan(DACBsin)sin(（2）已知41log)sin(8，且)0,2(，则)2tan(的值为题型8、sincos,sincos关系问题例1．已知1sincos,(,)842，求cossin的值．例2．已知51cossin,02xxx.（I）求sinx－cosx的值；练习：已知,51cossin,,0求下列各式的值。⑴cossin⑵cossin⑶tan例3．已知sincosm，求33sincos的值。若1sincos2xx，则33sincos______xx例4．已知：.33cossin求：44cossin的值．练习：若sincos1xx，则sincosnnxx的值是（）()1A()1B()1C（()D不确定例5、若sincosxxt，则sincosxx__练习：若1(0,),sincos2，求tan的值。例６．已知为锐角，且sin2a，则sincos的值为（）1Aa(21)1Ba1Ca21Da题型9、三角函数线特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A处(起点是A)”.【三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式】。例1、若08，则sin,cos,tan的大小关系为_____例2、若为锐角，则,sin,tan的大小关系为_______六、三角函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR},2|{Zkkxx值域]1,1[]1,1[R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性22yTAxαBSOMP单调性在[2,2]22kk)(Zk上是增函数在3[2,2]22kk)(Zk上是减函数在]2,2[kk)(Zk上是增函数在[2,2]kk)(Zk上是减函数在)2,2(kk)(Zk上是增函数最值当Zkkx,22时，1maxy当Zkkx,22时，1miny当Zkkx,2时，1maxy当Zkkx,)12(时，1miny无对称性对称中心)0,(k，Zk对称轴：2kx)(Zk对称中心)0,2(k，Zk对称轴：kx)(Zk对称中心(,0)2k，Zk对称轴：无注意：单调性：正切函数在开区间,22kkkZ内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：题型10★★：三角函数求取值范围例1、函数)3sin2lg(cos21xxy的定义域是_______练习：求函数y=xsin+lg（2cosx－1）的定义域．例2、1[02]sin()2xx在，上满足的的取值范围是练习：（1）解不等式：3sin()2xxR；（2）求出满足22cos0()xxR的x的集合。（3）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|=T/2邻渐近线|x1-x2|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x3无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！tan()yAx三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|=T/2邻轴|x1-x2|=T/2无穷对称中心:由y=0确定无穷对称轴:由y=A或-A确定y=Asin(ωx+φ)x34T邻中心轴相距sin()yAx(3)若ox2,则sinxxtanx(2)(1)|sinx||cosx||cosx||sinx||cosx||sinx||sinx||cosx|sinxcosxcosxsinx16.几个重要结论:OOxyxy知识点★★★：奇偶性与对称性：正弦函数sin()yxxR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；余弦函数cos()yxxR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ题型11：判断三角函数的奇偶性★★★sinyx是奇函数，cosyx是偶函数，tanyx是奇函数。sinyAx是奇函数，cosyAx是偶函数，tanyAx是奇函数。sinyAxB非奇非偶，cosyAxB是偶函数，tanyAxB非奇非偶。【注意：sin()yAx、cos()yAx和tan()yAx可能是奇函数也可能是偶函数，要先用诱导公式化简后再判断。】例1、判断下列函数的奇偶性：①3sin2yx②3sin()22yx③cos()12yx④33cos()12yx⑤3tan2yx⑥3tan(2)2yx