2010年高考均值不等式题目及答案

2010年高考均值不等式求最值聚焦滦南县第一中学刘明远最值问题始终是高考数学的热点题型之一，而利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以2010年高考试题为题材，对高考中考查利用均值不等式求最值问题的基本特征和基本类型作一些分类解析，供参考。一、基础题型。1.直接利用均值不等式求解最值。例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,xyR，且满足134xy，则xy的最大值为________。解：因为x0，y0，所以234343xyxyxy(当且仅当34xy，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy，3.xy，故xy的最大值位3.2通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。例2：（2010年高考四川文科卷第11题）设0ab＞＞，则211aabaab的最小值是（）（A）1（B）2（C）3（D）4解：211aabaabw＝211()aabababaab＝11()()abaababaab≥2＋2＝4当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立，如取a＝2,b＝22满足条件。故选择答案D二、转化题型1.和积共存的等式，求解和或积的最值。例3：（2010年高考重庆理科卷第7题）已知x0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A.3B.4C.92D.112解：因为x0，y0，所以2228)2(82yxyxyx，整理得0322422yxyx即08242yxyx，又02yx，42yx等号当且仅当22xy时成立，故选择答案B。变式：因为x0，y0，所以因为x0，y0，所以28222xyxyxy，整理得240xyxy，即222xy，所以2xy等号当且仅当22xy时成立，故xy的最大值为2.2.分式型函数（二次一次二次、、一次二次二次）求解最值。例4：（2010年高考江苏卷第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=梯形的面积梯形的周长）2(,则S的最小值是_________。解：设剪成的小正三角形的边长为x，则222(3)4(3)1133(1)(1)22xxSxxx令22(3)()(01)1xfxxx，则22269610()111xxxfxxx令35,(25)txt，则22261021818516110161()()103xtttxtttt因为25t，所以161628tttt，等号当且仅当t=4，即13x时成立。所以16tt最小值为8故2269()1xxfxx的最小值为8，S的最小值是3233。例5：（2010年高考全国Ⅰ卷第11题）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的最小值为（）(A)42(B)32(C)422(D)322解：如图所示：设PA=PB=x(0)x,∠APO=，则∠APB=2，PO=21x，21sin1x，||||cos2PAPBPAPB=22(12sin)x=222(1)1xxx=4221xxx，令PAPBy，则4221xxyx，令21,0txt，则22(1)(1)3223223ttttytttt等号当且仅当2tt，即2t时成立。故min()322PAPB.此时21x.，选择答案D。练习：2.（2010年高考山东理科卷第14题）若对任意0x，231xaxx恒成立，则a的取值范围是。答案：15a解：因为0x，所以12xx（当且仅当x=1时取等号），所以有21111312353xxxxx，即231xxx的最大值为15，故15a。3.（2010年高考重庆文科卷第12题）已知to,则函数2t41tyt的最小值为答案：—2解：241142(0)ttytttt，当且仅当1t时，min2y.4.（2010年高考浙江文科卷第15题）若正实数x，y满足26xyxy，则xy的最小值是。（变式：求2x+y的最小值为______）PABO例5图答案：18解：因为x0，y0，所以62262xyyxxy，2260xyxy，解得322xyxy或（舍）等号当且仅当2x=y=6时成立，故xy的最小值为18。变式答案：12解：因为x0，y0，所以21226()22xyxyxy整理得2(2)8(2)480xyxy，解得21224(xyxy或舍）等号当且仅当2x=y=6时成立，故2x+y的最小值为12。