2010年高考数学双曲线标准方程典型例题

1（一）双曲线的标准方程典型例题例1讨论192522kykx表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于9k，25k，则k的取值范围为9k，259k，25k，分别进行讨论．解：（1）当9k时，025k，09k，所给方程表示椭圆，此时ka252，kb92，16222bac，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259k时，025k，09k，所给方程表示双曲线，此时，ka252，kb92，16222bac，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25k，9k，25k时，所给方程没有轨迹．例2根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点4153，P，5316，Q且焦点在坐标轴上．（2）6c，经过点（－5，2），焦点在x轴上．（3）与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点223，解：（1）设双曲线方程为122nymx，∵P、Q两点在双曲线上，∴12592561162259nmnm解得916nm∴所求双曲线方程为191622yx说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的（2）∵焦点在x轴上，6c，∴设所求双曲线方程为：1622yx（其中60）∵双曲线经过点（－5，2），∴16425，∴5或30（舍去），∴所求双曲线方程是1522yx（3）设所求双曲线方程为：160141622yx，∵双曲线过点223，，∴1441618∴4或14（舍），∴所求双曲线方程为181222yx说明：与双曲线141622yx有公共焦点的双曲线系方程为141622yx后，便有了以上巧妙的设法．例3已知双曲线116922yx的右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上的左支上且3221PFPF，求21PFF．解：∵点P在双曲线的左支上，∴621PFPF，∴362212221PFPFPFPF，∴1002221PFPF∵100441222221bacFF，∴9021PFF说明：“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？2例4已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足9021PFF，求21PFF的面积．解：∵P为双曲线1422yx上的一个点且1F、2F为焦点．∴4221aPFPF,52221cFF∵9021PFF，∴在21FPFRt中，202212221FFPFPF∵162212221221PFPFPFPFPFPF，∴1622021PFPF，∴221PFPF∴1212121PFPFSPFF例5在ABC中，2BC，且ABCsin21sinsin，求点A的轨迹．解：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则01，B，01，C．设yxA，，由ABCsin21sinsin及正弦定理可得：121BCACAB∵2BC，∴点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：0012222babyax，∴12a，22c，∴21a，1c，∴43222acb，∴所求双曲线方程为134422yx∵01ACAB，∴21x，∴点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分例6在周长为48的直角三角形MPN中，90MPN，43tanPMN，求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程．分析：由双曲线定义可知aPNPM2，cMN2，所以利用条件确定MPN的边长是关键．解：∵MPN的周长为48，且43tanPMN，∴设kPN3，kPM4，则kMN5．由48543kkk，得4k．∴12PN，16PM，20MN以MN所在直线为x轴，以∴MN的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222byax)0,0(ba．由4PNPM，得42a，2a，42a．由20MN，得202c，10c．由96222acb，得所求双曲线方程为196422yx．3例7求下列动圆圆心M的轨迹方程：（1）与⊙2222yxC：内切，且过点02，A（2）与⊙11221yxC：和⊙41222yxC：都外切．（3）与⊙93221yxC：外切，且与⊙13222yxC：内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C、⊙2C的半径为1r、2r且21rr，则当它们外切时，2121rrOO；当它们内切时，2121rrOO．解：设动圆M的半径为r（1）∵⊙1C与⊙M内切，点A在⊙C外∴2rMC，rMA，2MCMA，∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：22a，2c，27222acb，∴双曲线方程为2172222xyx（2）∵⊙M与⊙1C、⊙2C都外切，∴11rMC，22rMC，112MCMC∴点M的轨迹是以2C、1C为焦点的双曲线的上支，且有：21a，1c，43222acb∴所求的双曲线的方程为：43134422yxy（3）∵⊙M与⊙1C外切，且与⊙2C内切，∴31rMC，12rMC，421MCMC∴点M的轨迹是以1C、2C为焦点的双曲线的右支，且有：2a，3c，5222acb∴所求双曲线方程为：215422xyx例8P是双曲线1366422yx上一点，1F、2F是双曲线的两个焦点，且171PF，求2PF的值．解：在双曲线1366422yx中，8a，6b，故10c．由P是双曲线上一点，得1621PFPF．∴12PF或332PF．又22acPF，得332PF．说明：本题容易忽视acPF2这一条件，而得出错误的结论12PF或332PF．