正弦定理和余弦定理详细讲解

第1页共13页高考风向1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识梳理1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R等形式，解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解[难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosAsinB,cosAsinC·2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．例1．已知在ABC中，10c，45A，30C，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.解析：sinsinacAC，∴sin10sin45102sinsin30cAaC，第2页共13页∴180()105BAC，又sinsinbcBC，∴sin10sin1056220sin75205652sinsin304cBbC．总结升华：1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，0180()CAB000180(32.081.8)066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA【变式2】在ABC中，已知075B，060C，5c，求a、A.【答案】00000180()180(7560)45ABC，根据正弦定理5sin45sin60ooa，∴563a.【变式3】在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，求::abc【答案】根据正弦定理sinsinsinabcABC，得::sin:sin:sin1:2:3abcABC.例2．在3,60,1ABCbBc中，，求：a和A，C．思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.解析：由正弦定理得：sinsinbcBC，∴sin1sin601sin23cBCb，（方法一）∵0180C，∴30C或150C，当150C时，210180BC，（舍去）；第3页共13页当30C时，90A，∴222abc．（方法二）∵bc，60B，∴CB，∴60C即C为锐角，∴30C，90A∴222abc．总结升华：1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角C时，因为0sinsin(180)CC，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.类型二：余弦定理的应用：例3．已知ABC中，3AB、37BC、4AC，求ABC中的最大角。思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：∵三边中37BC最大，∴BC其所对角A最大，根据余弦定理：22222234(37)1cos22342ABACBCAABAC，∵0180A，∴120A故ABC中的最大角是120A.总结升华：1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】已知ABC中3a,5b,7c,求角C.【答案】根据余弦定理：2222225371cos22352abcCab，∵0180C，∴120oC【变式2】在ABC中，角,,ABC所对的三边长分别为,,abc，若::abc6:2:31（），求ABC的各角的大小．第4页共13页【答案】设6ak，2bk，31ck，0k根据余弦定理得：263142cos22316B，∵0180B，∴45B；同理可得60A；∴18075CAB【变式3】在ABC中，若222abcbc，求角A.【答案】∵222bcabc，∴2221cos22bcaAbc∵0180A，∴120A类型三：正、余弦定理的综合应用例4．在ABC中，已知23a，62c，045B，求b及A.思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A.解析：⑴由余弦定理得：2222cosbacacB=220(23)(62)223(62)cos45=212(62)43(31)=8∴22.b⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）∵222222(22)(62)(23)1cos22222(62)bcaAbc，∴060.A（法二：正弦定理）第5页共13页∵0233sinsinsin45222aABb又∵622.41.43.8，2321.83.6∴a＜c，即00＜A＜090,∴060.A总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：【变式1】在ABC中，已知3b,4c,0135A.求B和C.【答案】由余弦定理得：21225135cos43243222oa，∴48.621225a由正弦定理得：sin3sin135sin0.327obABaa，因为0135A为钝角，则B为锐角，∴0/197B.∴00/180()2553CAB.【变式2】在ABC中，已知角,,ABC所对的三边长分别为,,abc，若2a，22b，62c，求角A和sinC【答案】根据余弦定理可得：222884343cos2222262bcaAbc∵0180A，∴30A；∴由正弦定理得：62sin3062sinsin24cACa.其他应用题详解一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)第6页共13页1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm解析利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×－12＝3a2，∴AB＝3a.答案B2．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．22kmB．32kmC．33kmD．23km解析如图，由条件知AB＝24×1560＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知BSsin30°＝ABsin45°，所以BS＝ABsin45°sin30°＝32.第7页共13页答案B3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是()A．35海里B．352海里C．353海里D．70海里解析设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝CE2＋CF2－2CE·CFcos120°＝502＋302－2×50×30cos120°＝70.答案D4．(2014·济南调研)为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()A．201＋33mB．201＋32mC．20(1＋3)mD．30m解析如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20m，所以BM＝20m．又在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，∴AM＝DMtan30°＝2033(m)．∴AB＝AM＋MB＝2033＋20＝201＋33(m)．答案A5．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()第8页共13页A.1010B.105C.31010D.55解析由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝(2)2＋32－2×2×3×22＝5，所以AC＝5，再由正弦定理：sin∠BAC＝sin∠ABCAC·BC＝3×225＝31010.答案C6．(2014·滁州调研)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小()A.6943B．1C.7043D．2解析如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.当t＝7043时，DE最小．答案C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.第9页共13页解析如右图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝107(km)．答案1078．如下图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82nmile.此船的航速是________nmile/h.解析设航速为vnmile/h在△A