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第1页（共7页）与圆有关的分类讨论题一．选择题1．如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）A．B．1C．1或3D．2．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（）A．B．C．或D．a+b或a﹣b3．已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则tan∠OPA的值为（）A．3B．C．或D．3或二．填空题4．如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为______．5．已知：⊙O的直径为14cm，弦AB=10cm，点P为AB上一点，OP=5cm，则AP的长为______cm．6．⊙O的半径OA=2，弦AB、AC的长分别为一元二次方程x2﹣（2+2）x+4=0的两个根，则∠BAC的度数为______．7．已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2的弦AB，连接PB，则PB的长为______．8.若Rt△ABC的内一个内角为30°，它的外接圆○O的半径为2，OD⊥AC交AC于D，则OD=________9、已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为23cm，则弦的中点到这条弦所对弧的中点的距离为_______________cm。10、已知：⊙O半径OA=1，弦AB、AC长分别为2、1则∠BAC=________________。11、如图，直线AB、CD相交于点D，∠AOC=300，半径为1cm的⊙P的圆心在直线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么____________秒钟后⊙P与直线CD相切。12、已知等腰⊿ABC内接于半径为5的⊙O中，如果底边BC的长为8，则BC边上的高为____________________。13.已知△ABC内接与圆O，AB=AC=a，BC=b，AE切○O于点A，BC∥AE，在射线AE上是否存在一点P，使得以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似？若不存在，请说明理由；若存在，求出AP的长。第2页（共7页）14、如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t(s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。（1）当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？（2）当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。第3页（共7页）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2001•黑龙江）如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）A．B．1C．1或3D．【分析】利用勾股定理，弧长公式，圆的周长公式求解．【解答】解：如图，分两种情况，①设扇形S2做成圆锥的底面半径为R2，由题意知：扇形S2的圆心角为270度，则它的弧长==2πR2，R2=；②设扇形S1做成圆锥的底面半径为R1，由题意知：扇形S1的圆心角为90度，则它的弧长==2πR1，R1=．故选D．【点评】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式求解．2．（2005•资阳）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（）A．B．C．或D．a+b或a﹣b【分析】搞清⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离、最小距离的差或和为⊙O的直径，即可求解．【解答】解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，若这个点在圆的内部或在圆上时时，圆的直径是a+b，因而半径是；当此点在圆外时，圆的直径是a﹣b，因而半径是．则此圆的半径为或．第4页（共7页）故选C．【点评】注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．3．（2003•山西）已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则tan∠OPA的值为（）A．3B．C．或D．3或【分析】点P是直线AB上的一点，则P可能在线段BE上，或BE的延长线上，因分两种情况进行讨论．过O作AB的垂线，根据三角函数的定义就可以求解．【解答】解：作OE⊥AB，则EB=8×=4．∵PB=3，∴EP=4﹣3=1．又⊙O的半径为5，∴OE==3．当P在线段BE上时：tan∠OPA==3；当P在线段EB的延长线上时：设P是P1，则tan∠OP1A=3÷（1+3+3）=．故选D．【点评】根据勾股定理和垂径定理求出直角三角形各边长，再根据三角函数的定义解答．二．填空题（共4小题）4．（2004•黑龙江）如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为30°或150°．【分析】弦长与半径相等，连接圆心和弦的端点，可得等边三角形，那么圆心角为60°，那么这条弦所对的优弧上的圆周角为30°，则劣弧上的圆周角为150°．【解答】解：如图若AB=OA=OB，则∠AOB=60°∴∠D=∠AOB=30°∠C=180°﹣∠D=150°．第5页（共7页）【点评】解决本题的关键是得到这条弦所对的圆心角的度数．本题需注意：在一个圆中，弦所对的圆周角是两个，它们互为补角．5．（2005•哈尔滨）已知：⊙O的直径为14cm，弦AB=10cm，点P为AB上一点，OP=5cm，则AP的长为4或6cm．【分析】点P的位置有两种情况，根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：连接OA，OB，作OE⊥AB，垂足为E．点P的位置有两种情况：①当如图位置时，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=EB=AB=5，OA=7，由勾股定理得，OE=2，PE=1，∴AP=AE﹣PE=4cm；②当点P在如图的点F位置时，可求得EF=1，所以AF=AE+EF=6cm．故填4或6．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，注意点P的位置有两种情况．6．（2005•辽宁）⊙O的半径OA=2，弦AB、AC的长分别为一元二次方程x2﹣（2+2）x+4=0的两个根，则∠BAC的度数为75°或15°．【分析】先解一元二次方程，得AB、AC的长；再根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．【解答】解：x2﹣（2+2）x+4=0方程可化为：（x﹣2）（x﹣2）=0解得：x1=2，x2=2．如图：（1）∵AC=，AD=4，∴cos∠CAD==，∴∠CAD=30°．∵AB=2，AD=4，∴cos∠BAD==，∴∠BAD=45°．则∠BAC=30°+45°=75°；如图（2）∠BAC=45°﹣30°=15°．第6页（共7页）【点评】本题考查了一元二次方程的解法和圆、三角函数等相关问题，着重考查了基础知识的综合应用能力，是一道很好的题目．7．（2005•黄冈）已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2的弦AB，连接PB，则PB的长为2或．【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）弦AB在⊙O的同旁，可以根据已知条件证明△POA≌△POB，然后即可求出PA；（2）弦AB在⊙O的两旁，此时可以根据已知条件证明PABO是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出PA．【解答】解：连接OA，（1）如图，当弦AB与PA在O的同旁时，∵PA=AO=2，PA是⊙的切线，∴∠AOP=45°，∵OA=OB，∴∠BOP=∠AOP=45°，而OP=OP，∴△POA≌△POB，∴PB=PA=2；（2）如图，当弦AB与PA在O的两旁，连接OA，OB，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，而PA=AO=2，∴OP=2；∵AB=2，而OA=OB=2，∴AO⊥BO，∴PABO是平行四边形，∴PB，AO互相平分；设AO交PB与点C，即OC=1，∴BC=，∴PB=2．第7页（共7页）【点评】在解本题时应分情况进行讨论，解题过程中主要运用了切线的性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定等知识，综合性比较强，对于学生分析问题的能力要求比较高．