2006—2007学年安徽省蒙城一中高一数学竞赛试题

2006—2007学年安徽省蒙城一中高一数学竞赛试题时间：120分钟总分：150分命题:隋兴胜一．选择题（本题共6小题，每题6分，共36分）1．已知0sin2005,则是第D象限角.A,一B,二C,三D,四2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（D）(A)1(B)2(C)3(D)651?4123453．当0,4x时，下面四个函数中最大的是（C）。A.sin(cos)xB.sin(sin)xC.cos(sin)xD.cos(cos)x4．对任意实数k，圆C：2268120xyxy与直线:430lkxyk的位置关系是（A）A．相交B．相切C．相离D．与k取值有关5．设O为⊿ABC内部的一点，且032OCOBOA，则⊿AOC的面积与⊿BOC的面积之比为（C）A．23B.35C.2D.36．已知，那么，下列式子成立的是（D）A．xyzB.zyxC.zxyD.xzy二．填空题（共6小题，每题9分，共54分）7．已知函数为无理数为有理数xxxf01)(，为有理数为无理数xxx01)(g当xR时，_______,fgx_______.gfx8．一名模型赛车手遥控一辆赛车。先前进1米，然后原地逆时针方向旋转角0(0180)，被称为一次操作。若五次操作后赛车回到出发点，则角=720或1440ABFEMCDN9．函数xxxxxfcossin1cossin)(的值域为212,11,21210．已知点baP，在直线01443yx上，则2211ba的最小值为3．11．已知图象连续不断的函数()yfx在区间,(0.1)abba上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确到0.0001）的近似值，那么将区间,ab等分的次数至多是10。12．若在一个棱长为5的正方体封闭的盒内有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意的运动，则小球达不到的空间的体积的大小是：31144三．解答题（本大题共5小题，每题12分,共60分）13,设()fxab,其中向量(2cos,1)ax,(cos,3sin2)bxx,xR(I)若()13fx且[,]33x,求x;(II)若[0,]2x,是否存在整数m,使得方程()fxm有且仅有两个不相等的实数根?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.解:(I)可得2()2cos3sin212sin(2)6fxxxx由12sin(2)6x=13,得3sin(2)62x又33x,得52266x,有26x=3,解得4x.(II)由()fxm,有12sin(2)6xm,得1sin(2)62mx,而02x,得72666x,有1sin(2)126x,即11122m于是03m,m为整数,得m=0,1,2,3.经检验只有m=2合题意.14,如图是一棱长为1的正方体的平面展开图.(I)请你把它合原为正方体,并建立适当的空间直角坐标系,求出点A,F,N的坐标;(II)求证:平面AFN//平面MBD;(III)求证:CE⊥平面AFN;解:(I)把它合原为正方体ABCDEFMN,xyABCDEFMNzQP(如图),以D为原点建立空间直角坐标系.得A(1,0,0),F(1,1,1),N(0,0,1);(II)可得B(1,1,0),M(0,1,1),则(1,1,0)NF,(1,1,0)DB,NFDB,有//NFDB,而DE平面MBD,有NF//平面MBD.又(1,0,1)AN,(1,0,1)BM,ANBM,有//ANBM,而BM平面MBD,有AN//平面MBD,由ANNFN,得平面AFN//平面MBD.(III)可得E(1,0,1),C(0,1,0),(1,1,1)CE由(1,1,1)(1,0,1)1010(1,1,1)(1,1,0)1100CEANCENF知CE⊥AN,CE⊥NF,又ANNFN,所以CE⊥平面AFN.15．设圆012222yxyx的切线l交两坐标轴于)0(),,0(),0,(abbBaA.（1）求ba,应满足的条件；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）若,2,2ba求△AOB面积的最小值.解：（1）直线l的方程为1byax，即0abaybx.依题意，圆心（1，1）到l的距离rd得babaababab,2)2)(2(1||22为应满足的条件（2）设AB的中点为P（x，y），则2)2)(2(2222baybxaybxa代入有21)1)(1(yx（x1,y1）为线段AB中点的轨迹方程.（3）由121,2,2.2222)2)(2(baabSbabaabbaAOB又2233)2)(2(23)2()2(baba.当且仅当22ba时取等号，所以，△AOB面积的最小值是22316．某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t(天)的的函数关系近似满足),3025(,100),241(,20NtttNtttp.商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式近似的满足Q=―t+40(1≤t≤30,t∈N),求:这种商品日销售量金额的最大值,并指出日销售量金额最大的一天是30天中的第几天?解：设日销售金额为y元，则y=P•Q,所以),3025(,4000140),241(,8002022NttttNtttty即y=),3025(,900)70(),241(,900)10(22NtttNttt当1≤t≤24时,t=10,ymax=900;当25≤t≤30时,函数y=(t-70)2-900单调递减,∴当t=25时,ymax=1125.经比较可知，∴ymax=1125。∴该商品日销售金额的最大值为1125元，且在近30天中，第25天销售的金额最大。17．求方程11145xyz的正整数解.解:由对称性,不妨设xyz,则111xyz,有541113zyxx,得154x.又x是正整数,所以x1或2或3.(1)若1x,1115yz无正整数解,(2)若2x,则2114135210yyz,得203y,y是正整数,且2y,于是3,4,5,6y.当3y时,30z(舍去);当4y时,20z;当5y时,10z;当6y,7.5z(舍去).(3)若3x,则2114175315yyz,得307y,y是正整数,且3y,于是3y或4,经检验,这时方程无正整数解,所以原方程的正整数解为(,,)(2,4,20)xyz或(2,5,10).