2006年7月真题详解

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全国2006年7月高等教育自学考试高等数学(一)试题课程代码:00020一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.函数y=ln(22x1x1)的定义域是()A.|x|≤1B.|x|1C.0|x|≤1D.0|x|1知识点:函数的定义域22221011100110Cxxxxxx解:答案选2.设△y=f(x0+△x)-f(x0)且函数f(x)在x=x0处可导,则必有()A.0xlim△y=0B.△y=0C.dy=0D.△y=dy知识点:导数与连续000000()()limlim()()0Axxfxxxfxxxyfxxfx解:由在点可导,则在点连续答案选3.0xlimx2sin2x1=()A.0B.1C.-1D.不存在知识点:函数的极限222222010sin11sinlimsin0Axxxxxxxx解:当时,为无穷小量,为有界变量所以为无穷小量,答案选4.设Cedx)x(xf2x,则f(x)=()A.2xxeB.-2xxeC.2xe2D.-2xe2知识点:不定积分的导数2222()(())()()2()2DxxxxxfxdxeCxfxdxeCxfxxefxe解:答案选5.设产品的利润函数为L(x),则生产xo个单位时的边际利润为()A.00x)x(LB.dx)x(dLC.0xxdx)x(dLD.)dx)x(L(dxd知识点:边际函数00()()()CxxdLxLxdxdLxxdx解:利润函数为,则边际利润函数为生产单位时的边际利润答案选二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.知识点:反函数-1111ln(2)-1ln(2)222yyxyxyxexxeye解:所以反函数为7.设xn=)!1n(n!32!21,则nnxlim=_______.知识点:数列的极限122131112!3!(1)!2!3!(1)!1111111()()11!2!!2!3!(1)!(1)!11limlim(1)1lim1(1)!(1)!nnnnnnnxnnnnnxnn解:8.xarctanlimxx_______.知识点:极限arctan22x,是有界量arctanlim0xxx     9.设f(x)=1|x|,01|x|,x12,则f(1)=_____.知识点:单侧导数211(1)(1)22xxfxx解:10.设y=cos2x1,则y=_____.知识点:复合函数求导22222222sin1(cos1)sin1(1)sin1211xxxyxxxxxx解:11.曲线y=xe-x的拐点是_____.知识点:曲线的拐点22(1)(1)(2)022(2)2(2,)xxxxxxyexexeyexexexyee解:所以,拐点为12.已知某产品的产量为g时,总成本是C(g)=9+800g2,则生产100件产品时的边际成本MC|g=100=_____.知识点:边际函数g=100dCgMCdg4001001MC4004解:13.dxx1x62______.知识点:不定积分233632111:arctan131()3xdxdxxCxx解14.设z=2cosxy,则dz=_____.知识点:全微分2222222cos2cossin:()coscos()2cossincoscos(2sincos)xxyyxyxxxzyyxxzyyxxxxdzzdxzdydxdyyxdxxdyyyy解15.微分方程(xlnx)y=y的通解是____.知识点:可分离变量微分方程的求解11(ln)lnlnlnlnln,CxxyydydxyxxyxCyCxCe解:其中三、计算题(一)(本大题共5小题,每小题5分,共25分)16.求极限x0lncotlim.lnxx知识点:洛必达法则2x0x0x0x0x01csclncotcotlimlimlim()1lnsincos1lim()lim()1coscosxxxxxxxxxxxx解:17.设y=arctanex-ln.y,e1ex2x求知识点:复合函数求导222222221(arctanlnln(1))21211112111xxxxxxxxxxxxxyeeeeeeeeeeeee解:18.求不定积分.dxxx222知识点:不定积分22222222sin,,22cos,2cos22cos2coscot2sin2(csc1)cottarcsin2xtxtdxtdtxtdxtdttdtxtxxtdttCCx解:令则19.计算定积分.x1dx132知识点:定积分222333321244434tan,,1+sec,sec,1343secsinsecsec1sin1lnsecxtanxln23ln21ln(23)ln(21)xtxtdxtdtxtxtdxtdtdttdtttx解:令则当时,当时,20.设z=x2arctan2arctan,.yxzyxyx求知识点:偏导数222222322221:2arctan1()1()2arctan2arctanyzyyxxxyyxxxxyyxyyxxxyxyyxyx解四、计算题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)21.设y=.y,1|x|,x1x1ln21x1xarcsin2求知识点:复合函数求导222323arcsin11(ln(1)ln(1))22112arcsin1112(1)2(1)2(1)arcsin(1)xyxxxxxxxxxxxx解:22.计算定积分20sinxxdx知识点:定积分200002200002201cos211sincos22221111xsin2(sin2sin2dx)4444111cos2x484xxxdxxdxxdxxxdxxdxxxx解:23.设D是xoy平面上由曲线y=x2,直线y=x和x=2所围成的区域,求.dxdyeDxy知识点:二重积分222211222211322xyyyxxxxxDxxxxedxdydxedyxedxexeedxxeexee              2211112211211223282xyyyxxxxxDxxxxedxdydxedyxedxeexeedxxxeee              五、应用题(本大题共1小题,每小题9分,共9分)24.设生产某种产品x(百台)时的边际成本4x4)x(C(万元/百台),边际收益x8)x(R(万元/百台),试求:(1)产量由1百台增加到5百台时的总成本与总收入各增加多少?(2)产量为多大时,利润最大?知识点:边际函数52551115255111251:(1)()(4)(4)20(4)194888251()(8)(8)40(8)2022219,20(2)()()16483.245320xxCCxdxdxxxRRxdxxdxxCxRxxxx解所以总成本增加万元总利润增加万元。利润最大时,即,所以当产量为台时,利润最大。六、证明题(本大题共1小题,每小题5分,共5分)25.证明:当x0时,xln(.1x1)x1x22知识点:函数的单调性222222222222()ln(1)112121'()ln(1)11ln(1)11ln(1)011'()ln(1)0fxxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxxx                                                故当0x时()fx单调递增,则()(0),fxf即22ln(1)11xxxx

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