2006年上海高考文科数学解析版

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2006年普通高等学校招生全国统一考试上海卷数学(文史类)一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空填对得4分,否则一律得零分。1、已知{1,3,}Am,集合{3,4}B,若BA,则实数___m。2、已知两条直线12:330,:4610.laxylxy若12//ll,则a____.3、若函数()(0,1)xfxaaa且的反函数的图像过点(2,1),则___a。4、计算:23(1)______61limnnnn。5、若复数z满足(2)(1)zmmi(i为虚数单位),其中mR则____z。6、函数sincosyxx的最小正周期是_________。7、已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4,则双曲线的标准方程是____________________.8、方程233log(10)1logxx的解是_______.9、已知实数,xy满足3025000xyxyxy,则2yx的最大值是_________.10、在一个小组中有8名女同学和4名男同学,从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是______(结果用分数表示)。11、若曲线21xy与直线yb没有公共点,则b的取值范围是_________.12、如图,平面中两条直线1l和2l相交于点O,对于平面上任意一点M,若,pq分别是M到直线1l和2l的距离,则称有序非负实数对,pq是点M的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是____________.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。13、如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是()(A)ABDC(B)ADABAC(C)ABADBD(D)0ADCB14、如果0,0ab,那么,下列不等式中正确的是()(A)11ab(B)ab(C)22ab(D)||||ab15、若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件16、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(A)48(B)18(C)24(D)36三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤。17、(本题满分12分)已知是第一象限的角,且5cos13,求sin4cos24的值。18、(本题满分12分)如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)?19、(本题满分14)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。在直三棱柱ABCABC中,90,1ABCABBC.(1)求异面直线11BC与AC所成的角的大小;(2)若1AC与平面ABCS所成角为45,求三棱锥1AABC的体积。20、(本题满分14)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。设数列{}na的前n项和为nS,且对任意正整数n,4096nnaS。(1)求数列{}na的通项公式(2)设数列2{log}na的前n项和为nT,对数列nT,从第几项起509nT?21、本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(3,0)F,右顶点为(2,0)D,设点11,2A.(1)求该椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;(3)过原点O的直线交椭圆于点,BC,求ABC面积的最大值。22(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分。已知函数ayxx有如下性质:如果常数0a,那么该函数在0,a上是减函数,在,a上是增函数。(1)如果函数2(0)byxxx在0,4上是减函数,在4,上是增函数,求b的值。(2)设常数1,4c,求函数()(12)cfxxxx的最大值和最小值;(3)当n是正整数时,研究函数()(0)nncgxxcx的单调性,并说明理由。上海数学(文史类)参考答案一、(第1题至笫12题)1.42.23.214.615.36.π7.116922yx8.59.010.331411.-1b112.4二、(第13题至笫16题)13.C14.A15.A16.D1、已知{1,3,}Am,集合{3,4}B,若BA,则实数4m。2、已知两条直线12:330,:4610.laxylxy若12//ll,233a,则a2.3、若函数)(xf=xa(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则原函数的图象过点(-1,2),∴12a,a=21.4、计算:23(1)61limnnnn23111lim166nnn。5、若复数z满足(2)(1)zmmi(i为虚数单位)为纯虚数,其中mR,则m=2,z=3i,3z。6、函数sincosyxx=21sin2x,它的最小正周期是π。7、已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为5:4,即:5:4cb,解得5,4cb,则双曲线的标准方程是221916xy.8、方程233log(10)1logxx的解满足22100103xxx,解得x=5.9、已知实数,xy满足3025000xyxyxy,在坐标系中画出可行域,得三个交点为A(3,0)、B(5,0)、C(1,2),则2yx的最大值是0.10、在一个小组中有8名女同学和4名男同学,从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是28212CPC3314.11、曲线21xy得|y|1,∴y1或y-1,曲线与直线yb没有公共点,则b的取值范围是[-1,1].12、如图,平面中两条直线1l和2l相交于点O,对于平面上任意一点M,若,pq分别是M到直线1l和2l的距离,则称有序非负实数对,pq是点M的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个,所以满足条件的点的个数是4个.二、选择题:13.C14.A15.A16.D13.如图,在平行四边形ABCD中,根据向量的减法法则知ABADDB,所以下列结论中错误的是C.14、如果0,0ab,那么110,0ab,∴11ab,选A.15、若空间中有两条直线,若“这两条直线为异面直线”,则“这两条直线没有公共点”;若“这两条直线没有公共点”,则“这两条直线可能平行,可能为异面直线”;∴“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件,选A.CBAOyxABCD16、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”,分情况讨论:①对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24个;②对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个;所以正方体中“正交线面对”共有36个.选D.三、(第17题至笫22题)17.解:)42cos()4sin(=sincos122sincos)sin(cos222cos)sin(cos2222由已知可得sin1312,∴原式=142131312135122.18.解:连接BC,由余弦定理得BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.于是,BC=107.∵710120sin20sinACB,∴sin∠ACB=73,∵∠ACB90°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.19.解:(1)∵BC∥B1C1,∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴∠ACB=45°,∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.(2)∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角,∠ACA=45°.∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=2,∴AA1=2.∴三棱锥A1-ABC的体积V=31S△ABC×AA1=26.20.解(1)∵an+Sn=4096,∴a1+S1=4096,a1=2048.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)=an-1-an∴1nnaa=21an=2048(21)n-1.(2)∵log2an=log2[2048(21)n-1]=12-n,∴Tn=21(-n2+23n).由Tn-509,解待n2460123,而n是正整数,于是,n≥46.∴从第46项起Tn-509.21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为1422yx(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由x=210x得x0=2x-1y=2210yy0=2y-21由,点P在椭圆上,得1)212(4)12(22yx,∴线段PA中点M的轨迹方程是1)41(4)21(22yx.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入1422yx,解得B(1422k,1422kk),C(-1422k,-1422kk),则224114kkBC,又点A到直线BC的距离d=2121kk,∴△ABC的面积S△ABC=2411221kkdAB于是S△ABC=144114144222kkkkk由1442kk≥-1,得S△ABC≤2,其中,当k=-21时,等号成立.∴S△ABC的最大值是2.22.解(1)由已知得b2=4,∴b=4.(2)∵c∈[1,4],∴c∈[1,2],于是,当x=c时,函数f(x)=x+xc取得最小值2c.f(1)-f(2)=22c,当1≤c≤2时,函数f(x)的最大值是f(2)=2+2c;当2≤c≤4时,函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)设0x1x2,g(x2)-g(x1)=)1)((21121122nnnnnnnnxxcxxxcxxcx.当nc2x1x2时,g(x2)g(x1),函数g(x)在[nc2,+∞)上是增函数;当0x1x2nc2时,g(x2)g(x1),函数g(x)在(0,nc2]上是减函数.当n是奇数时,g(x)是奇函数,函数g(x)在(-∞,-na2]上是增函数,在[-na2,0)上是减函数.当n是偶数时,g(x)是偶函数,函数g(x)在(-∞,-na2)上是减函数,在[-na2,0]上是增函数.

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