2006年考研数学三真题

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.(1)11lim______.nnnn(2)设函数()fx在2x的某邻域内可导，且efxfx，21f，则2____.f(3)设函数()fu可微，且102f，则224zfxy在点(1,2)处的全微分1,2d_____.z(4)设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B.(5)设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则max,1PXY_______.(6)设总体X的概率密度为121,,,,2xnfxexXXX为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则2____.ES二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0x处的增量，dyy与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则（）(A)0dyy.(B)0dyy.(C)d0yy.(D)d0yy.(8)设函数fx在0x处连续，且220lim1hfhh，则（）(A)000ff且存在(B)010ff且存在(C)000ff且存在(D)010ff且存在(9)若级数1nna收敛，则级数（）(A)1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.(C)11nnnaa收敛.(D)112nnnaa收敛.(10)设非齐次线性微分方程()()yPxyQx有两个不同的解12(),(),yxyxC为任意常数，则该方程的通解是（）(A)12()()Cyxyx.(B)112()()()yxCyxyx.(C)12()()Cyxyx.(D)112()()()yxCyxyx(11)设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0yxy，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(D)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(12)设12,,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是（）(A)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性相关.(B)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性无关.(C)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性相关.(D)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性无关.(13)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则（）(A)1CPAP.(B)1CPAP.(C)TCPAP.(D)TCPAP.(14)设随机变量X服从正态分布211(,)N，随机变量Y服从正态分布222(,)N，且1211PXPY则必有（）(A)12(B)12(C)12(D)12三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设1sin,,0,01arctanxyyyfxyxyxyx，求：(Ⅰ)lim,ygxfxy；(Ⅱ)0limxgx。（16）（本题满分7分）计算二重积分2ddDyxyxy，其中D是由直线,1,0yxyx所围成的平面区域。（17）（本题满分10分）证明：当0ab时，sin2cossin2cosbbbbaaaa（18）（本题满分8分）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点1,0M，其上任意点,0Pxyx处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数0a）。（Ⅰ）求L的方程；（Ⅱ）当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时，确定a的值。（19）（本题满分10分）求幂级数1211121nnnxnn的收敛域及和函数()sx。（20）（本题满分13分）设4维向量组TTT12341,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaT4,4,4,4a问a为何值时1234,,,线性相关？当1234,,,线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量TT121,2,1,0,1,1是线性方程组0Ax的两个解。（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQAQ；（Ⅲ）求A及632AE，其中E为3阶单位矩阵。（22）（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为1,1021,0240,Xxfxx　其他，令2,,YXFxy为二维随机变量(,)XY的分布函数。（Ⅰ）求Y的概率密度Yfy；（Ⅱ）Cov(,)XY；（Ⅲ）1,42F。（23）（本题满分13分）设总体X的概率密度为,01,;1,12,0,xfxx其他,其中是未知参数01，12n,...,XXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,...,nxxx中小于1的个数。（Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大似然估计。