2006年考研数学二真题答案解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）解析一、填空题（1）曲线4sin52cosxxyxx的水平渐近线方程为15y4sin11limlim2cos55xxxxyxx（2）设函数2301sin,0(),0xtdtxfxxax在x=0处连续，则a=132200()1lim()lim33xxsmxfxx（3）广义积分220(1)xdxx120222222001(1)11110(1)2(1)2(1)22xdxdxxxx（4）微分方程(1)yxyx的通解是xycxe)0(x（5）设函数()yyx由方程1yyxe确定，则0xdydxe当x=0时，y=1，又把方程每一项对x求导，yyyexey001(1)1xxyyyyyeyxeeyexe(6)设A=21,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=.-12解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得|B||A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.二、选择题（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0,fxfxx为自变量x在点x0处的增量，0()ydyfxx与分别为在点处对应增量与微分,若0x，则[A]（A）0dyy（B）0ydy（C）0ydy（D）0dyy由()0()fxfx可知严格单调增加()0()fxfx可知是凹的即知（8）设()fx是奇函数，除0x外处处连续，0x是其第一类间断点，则0()xftdt是[B]（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在x=0间断的奇函数（D）在x=0间断的偶函数（9）设函数()gx可微,1()(),(1)1,(1)2,gxhxehg则g(1)等于[C]（A）ln31（B）ln31（C）ln21（D）ln21∵1()()()gxhxgxe，1(1)12geg(1)=ln21（10）函数212xxxycecxe满足的一个微分方程是[D]（A）23xyyyxe（B）23xyyye（C）23xyyyxe（D）23xyyye将函数212xxxycecxe代入答案中验证即可.（11）设(,)fxy为连续函数，则1400(cos,sin)dfrrrd等于[C]（A）22120(,)xxdxfxydy（B）221200(,)xdxfxydy（C）22120(,)yydyfxydx（D）221200(,)ydyfxydx（12）设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0,yxy已知00(,)(,)xyfxy是在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A）若0000(,)0,(,)0xyfxyfxy则（B）若0000(,)0,(,)0xyfxyfxy则（C）若0000(,)0,(,)0xyfxyfxy则（D）若0000(,)0,(,)0xyfxyfxy则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0xxxyyyFfxyxyFfxyxyFfxyxyFxy令今000000(,)(,)0,(,)yyyfxyxyxy代入(1)得00000000(,)(,)(,)(,)yxxyfxyxyfxyxy今00000000(,)0,(,)(,)0(,)0xyxyfxyfxyxyfxy则故选[D](13)设1,2,…,s都是n维向量，A是mn矩阵，则（）成立.(A)若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性相关.(B)若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性无关.(C)若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性相关.(D)若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.解:(A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若1,2,…,s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得c11+c22+…+css=0,用A左乘等式两边,得c1A1+c2A2+…+csAs=0,于是A1,A2,…,As线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.1,2,…,s线性无关r(1,2,…,s)=s.2.r(AB)r(B).矩阵(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s),因此r(A1,A2,…,As)r(1,2,…,s).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记110P=010,则001(A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.解:(B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA,1-10C=B010=BP-1=PAP-1.001三、解答题（15）试确定A，B，C的常数值，使23(1)1()xeBxCxAxox其中3()ox是当30xx时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xxxexox代入已知等式得23323[1()][1]1()26xxxoxBxCxAxox整理得233111(1)()()1()226BBxCBxCoxAxox比较两边同次幂函数得B+1=A①C+B+12=0②1026BC③式②-③得120233BB则代入①得13A代入②得16C（16）求arcsinxxedxe.解：原式=22arcsinarcsin()xxxxetdeetdtet令21arcsinarcsin()1tdttdtttt2222arcsinarcsin1(2)12(1)1ttdttudututtuutt令2arcsin1tdutuarcsin11ln21tuCtu22arcsinarcsin111ln211xxxxxxeeedxCeee.（17）设区域22{(,)||,0}Dxyxyx，计算二重积分2211DxyIdxdyxy.解：用极坐标系2201Dxydxdyxy11222002ln(1)ln2122rIddrrr.（18）设数列{}nx满足10x，1sin(1,2,3,)nnxxn证明：（1）1limnnx存在，并求极限；（2）计算211limnxnnnxx.证：（1）212sin,01,2xxxn因此1sin,{}nnnnxxxx单调减少有下界0nx根据准则1，limnnxA存在在1sinnnxx两边取极限得sin0AAA因此1lim0nnx（2）原式21sinlim1nxnnnxx为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑22011sinlimln0sinlimtttttttet用洛必达法则2011(cossin)limsin2tttttttte2323330010()0()26cossinlimlim22tttttttttttttee3330110()261lim26ttttee.（19）证明：当0ab时，1sin2cossin2cosbbbbaaaa.证：令()sin2cosfxxxxx只需证明0ax时,()fx严格单调增加()sincos2sinfxxxxxcossinxxx()cossincossin0fxxxxxxx()fx严格单调减少又()cos0f故0()0()axfxfx时则单调增加（严格）()()bafbfa由则得证（20）设函数()(0,)fu在内具有二阶导数，且22Zfxy满足等式22220zzxy.（I）验证()()0fufuu；（II）若(1)0,(1)1ff求函数()fu的表达式.证：（I）22222222;zxzyfxyfxyxyxyxy22222223222222zxyfxyfxyxxyxy22222223222222zyxfxyfxyyxyxy2222222222()00()()0fxyzzfxyxyxyfufuu代入方程得成立（II）令(),;,dppdpducfupcpduupuu则22(1)1,1,()ln||,(1)0,0()ln||fcfuucfcfuu由（21）已知曲线L的方程221(0)4xttytt（I）讨论L的凹凸性；（II）过点(1,0)引L的切线，求切点00(,)xy，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应0xx部分）及x轴所围的平面图形的面积.解：（I）4222,42,12dxdydytttdtdtdxtt222312110(0)2dyddydxtdxdxdttttdt处(0Lt曲线在处)是凸（II）切线方程为201(1)yxt，设2001xt，20004ytt，则2223200000000241(2),4(2)(2)tttttttt得200000020,(1)(2)001tttttt点为（2，3），切线方程为1yx（III）设L的方程()xgy则30()(1)Sgyydy224024241ttyyxy解出t得由于（2，3）在L上，由232241()yxxygy得可知30944(1)Syyydy3300(102)44ydyydy3333220002(10)44(4)214(4)3yyydyy8642213333(22)已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1，ax1+x2+3x3+bx4=1有3个线性无关的解.①证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.②求a,b的值和方程组的通解.解:①设1,2,3是方程组的3个线性无关的解,则2-1,3-1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)2.两个不等式说明r(A)=2.②对方程组的增广矩阵作初等行变换:1111-11111-1(A|)=435-1-10–11–53,a13b1004-2a4a+b-54-2a由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:102-4201-15-3.00000得同解方程组x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,