2006数学四试题考研数学真题及解析

2006年数学四试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）11lim_________nnnn（2）设函数()fx在2x的某邻域内可导,且efxfx，21f，则2_________f（3）设函数()fu可微,且102f,则224zfxy在点(1,2)处的全微分1,2_________dz（4）已知12,为2维列向量，矩阵1212(2,)A，12(,)B.若行列式||6A，则|B|=____________.（5）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B____________.（6）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则max,1PXY____________.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0x处的增量，dyy与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则(A)0dyy.(B)0dyy.(C)d0yy.(D)d0yy.[]（8）设函数fx在0x处连续，且220lim1hfhh，则(A)000ff且存在(B)010ff且存在(C)000ff且存在(D)010ff且存在[]（9）设函数()fx与()gx在[0,1]上连续，且()()fxgx，且对任何(0,1)c，（A）1122()d()dccfttgtt（B）1122()d()dccfttgtt（C）11()d()dccfttgtt（D）11()d()dccfttgtt[]（10）设非齐次线性微分方程()()yPxyQx有两个不同的解12(),(),yxyxC为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）12()()Cyxyx.（Ｂ）112()()()yxCyxyx.（Ｃ）12()()Cyxyx.（Ｄ）112()()()yxCyxyx[]（11）设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0yxy，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(D)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.[]（12）设12,,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是(A)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性相关.(B)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性无关.(C)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性相关.(D)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性无关.[]（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则（Ａ）1CPAP.（Ｂ）1CPAP.（Ｃ）TCPAP.（Ｄ）TCPAP.［］（14）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且1211PXPY则必有(A)12(B)12(C)12(D)12[]三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设1sin,,0,01arctanxyyyfxyxyxyx,求(Ⅰ)lim,ygxfxy；(Ⅱ)0limxgx.（16）（本题满分7分）计算二重积分2ddDyxyxy，其中D是由直线,1,0yxyx所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0ab时，sin2cossin2cosbbbbaaaa.（18）（本题满分8分）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点1,0M，其上任意点,0Pxyx处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数0a）.(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时,确定a的值.（19）（本题满分10分）试确定,,ABC的值，使得23e(1)1()xBxCxAxox，其中3()ox是当0x时比3x高阶的无穷小.（20）（本题满分13分）设4维向量组TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaT44,4,4,4a，问a为何值时1234,,,线性相关?当1234,,,线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量TT121,2,1,0,1,1是线性方程组0Ax的两个解.(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQAQ；（Ⅲ）求A及632AE，其中E为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设二维随机变量（,XY）的概率分布为XY－101－1a00.200.1b0.2100.1c其中,,abc为常数，且X的数学期望0.2EX，{0|0}0.5PYX，记ZXY，求(Ⅰ),,abc的值；(Ⅱ)Z的概率分布；(Ⅲ){}PXZ.（23）（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为1,1021,0240,Xxfxx　其他，令2,,YXFxy为二维随机变量(,)XY的分布函数.(Ⅰ)求Y的概率密度Yfy；(Ⅱ)Cov(,)XY；(Ⅲ)1,42F.