2006级数值分析试卷A及参考答案

A卷第１页中南林业科技大学课程考试卷课程名称：数值分析编号：A考试时间：120分钟题号一二三四五六总分实得分满分202015151515100一、单项选择题(每小题4分，共20分)1.用3.1415作为π的近似值时具有(B)位有效数字。(A)3(B)4(C)5(D)62.下列条件中，不是分段线性插值函数P(x)必须满足的条件为()。(A)P(x)在各节点处可导(B)P(x)在[a，b]上连续(C)P(x)在各子区间上是线性函数(D)P(xk)=yk,(k=0,1,…,n)3.n阶差商递推定义为：01102110],,[],,[],,[xxxxxfxxxfxxxfnnnn，设差商表如下：序号xif(xi)一阶差商二阶差商三阶差商010132124151343712－1－7/2－5/4那么差商f[1，3，4]＝()。A.(15－0)/(4－1)＝5B.(13－1)/(4－3)=12C.4D.－5/44.分别改写方程042xx为42xx和2ln/)4ln(xx的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是：()(A)前者收敛，后者发散(B)前者发散，后者收敛(C)两者均收敛发散(D)两者均发散5.区间[a，b]上的三次样条插值函数是()。A.在[a，b]上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式B.在区间[a，b]上连续的函数C.在区间[a，b]上每点可微的函数D.在每个子区间上可微的多项式A卷第２页二、填空题(每小题4分，共20分)1.欧拉法的局部截断误差的阶为；改进欧拉法的局部截断误差的阶为；2.求解非线性方程01xxe的牛顿迭代公式是；3.已知数据对),(kkyx(k＝1，2，…，n)，用直线y＝a＋bx拟合这n个点，则参数a、b满足的法方程组是；4.设20302aaaaA给出使追赶法数值稳定地求解方程组3,RbbAx的a的取值范围（最大取值区间）是；5.求积公式)43(32)21(31)41(32)(10fffdxxf具有次代数精度。三、（15分）利用100，121，144的平方根，试用二次拉格朗日插值多项式求115的近似值。要求保留4位有效数字，并写出其拉格朗日插值多项式。四、（15分）已知：已知有数据表如下，用n=8的复合梯形公式（)]()(2)([211bfxfafhTnkkn），计算积分10dxeIx，并估计误差（),(),(12)(2bafhabfRn）。x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751xe11.1331481.2840251.4549911.6487211.8682462.1170002.3988752.718282五、（15分）已知方程组121212212321xxxaaa（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式；（2）证明当4a时，雅可比迭代法收敛；（3）取5a,TX)101,51,101()0(，求出)2(X。A卷第３页六、（15分）用改进的欧拉公式求解以下初值问题（取步长为0.1，只要求给出x=0.1至0.5处的y值，保留小数点后四位）。1)0()10(2'yxyxyy提示：改进的欧拉公式为),(1nnnnyxhfyy)],(),([2111nnnnnnyxfyxfhyyA卷第４页数值分析试题参考答案A卷一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.A3.A4.B5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1、答案：1，22、答案：kxkkkxexxxk113、答案：nknknkkkkknknkkkyxbxaxybxna111211)()()(4、答案：230a5、答案：3阶三、解利用抛物插值，这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11，x2=144，y2=12，令x=115代入抛物插值多项式求得115近似值为10.7228四、解720519.1)]1()(2)0([161718fxffTkk71828.1)]1())75.0()5.0()25.0((2))875.0()625.0()375.0()125.0((4)0([2414fffffffffS750035942968.0)81(121|)(12||)(|1228efhabfR54)4(44107272.4)41(28801|)(2880||)(|efhabfR五、解（1）对3,2,1i，从第i个方程解出ix，得雅可比法迭代公式为：A卷第５页,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1mxxaxxxaxxxaxmmmmmmmmm（2）当4a时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。（3）取5a，TX)101,51,101()0(由迭代公式计算得101)1(1x，258)1(2x，101)1(3x25013)2(1x，258)2(2x，25013)2(3x则）（2X=（25013，258，25013）T六、解nx0.10.20.30.40.50.60.70.80.91ny1.09591.18411.26621.34341.41641.48601.55251.61531.67821.7321