2006考研数学数学一真题

2006年全国硕士研究生入学考试（数学一）试题一、填空题（1）0ln(1)lim1cosxxxx.（2）微分方程(1)yxyx的通解是.（3）设是锥面22zxy（01z）的下侧，则23(1)xdydzydzdxzdxdy.（4）点(2,1,0)到平面3450xyz的距离z=.（5）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B=.（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则max{,}1PXY=.二、选择题（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在0x处的增量，y与dy分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则（A）0.dxy（B）0.ydy（C）0.ydy（D）0.dyy【】（8）设(,)fxy为连续函数，则1400(cos,sin)dfrrrdr等于（A）22120(,).xxdxfxydy（B）221200(,).xdxfxydy（C）22120(,).yydyfxydx（C）221200(,).ydyfxydx【】（9）若级数1nna收敛，则级数（A）1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.（C）11nnnaa收敛.（D）112nnnaa收敛.【】（10）设(,)fxy与(,)xy均为可微函数，且1(,)0yxy.已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.（B）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.（C）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.（D）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.【】（11）设12,,,,aaa均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是（A）若12,,,,aaa线性相关，则12,,,,AaAaAa线性相关.（B）若12,,,,aaa线性相关，则12,,,,AaAaAa线性无关.（C）若12,,,,aaa线性无关，则12,,,,AaAaAa线性相关.（D）若12,,,,aaa线性无关，则12,,,,AaAaAa线性无关.【】（12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记110010001P，则（A）1.CPAP（B）1.CPAP（C）.TCPAP（D）.TCPAP【】（13）设,AB为随机事件，且()0,(|)1PBPAB，则必有（A）()().PABPA（B）()().PABPB（C）()().PABPA（D）()().PABPB【】（14）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且12{||1}{||1},PXPY（A）12.（B）12.（C）12.（D）12.【】三解答题15设区域D=22,1,0xyxyx,计算二重积分2211DxyIdxdyxy.16设数列nx满足110,sin1,2,...nxxxn.求:(Ⅰ)证明limnxx存在,并求之.(Ⅱ)计算211limnxnxnxx.17将函数22xfxxx展开成x的幂级数.18设函数0,,fu在内具有二阶导数且22zfxy满足等式22220zzxy.(Ⅰ)验证0fufuu.(Ⅱ)若10,11,fffu求函数的表达式.19设在上半平面D=,0xyy内,数,fxy是有连续偏导数,且对任意的t0都有2,,ftxtytfxy.证明:对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有0),(),(dyyxxfdxyxyfL.20已知非齐次线性方程组12341234123414351331xxxxxxxxaxxxbx有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩2rAⅡ求,ab的值及方程组的通解21设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量121,2,1,0,1,1TT是线性方程组Ax=0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得TQAQA.22随机变量x的概率密度为21,1021,02,,40,xxfxxyxFxy令其他为二维随机变量(X,Y)的分布函数.(Ⅰ)求Y的概率密度Yfy(Ⅱ)1,42F23设总体X的概率密度为01,0112010xFXx其中是未知参数其它,12n,...,XXX为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值12,...,1nxxx中小于的个数,求的最大似然估计.