2007-2012全国初中数学联赛分类汇编6--几何解答题(含答案,)

2007-2012年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编6---几何解答题1、如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N.证明：∠AFN=∠DME.（2007）证明设MN与EF交于点P，∵NE//BC，∴△PNE∽△PBC，∴PCPEPBPN,∴PCPNPEPB.又∵ME//BF，∴△PME∽△PBF，∴PFPEPBPM,∴PFPMPEPB.∴PFPMPCPN,故PFPCPNPM又∠FPN=∠MPE，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC∴∠ANF＝∠EDM.又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.2．如图，圆O与圆D相交于,AB两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC.（1）证明：点O在圆D的圆周上.（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.（2008）解（1）连,,,OAOBOCAC，因为O为圆心，ABBC，所以△OBA∽△OBC，从而OBAOBC因为,ODABDBBC，所以9090DOBOBAOBCDBO，所以DBDO，因此点O在圆D的圆周上.（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BEAC.设2ACy(0)ya，OEx，ABl，则222axy，()Syax，22222222()2222()aSlyaxyaaxxaaxaaxy.因为22ABCOBAOABBDO,ABBC,DBDO，所以△BDO∽△ABC，所以BDBOABAC，即2raly，故2alry.ABCDEFMNP所以22223222()4422alaaSSaSryyyy，即22Sr，其中等号当ay时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为22S.3．设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，1I、2I分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求1I2I.（2009）解作1IE⊥AB于E，2IF⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，22AB=AC+BC5.又CD⊥AB，由射影定理可得2AC9AD=AB5，故16BD=ABAD5，2212CD=ACAD5.因为1IE为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以1IE＝13(ADCDAC)25连接D1I、D2I，则D1I、D2I分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠1IDC＝∠1IDA＝∠2IDC＝∠2IDB＝45°，故∠1ID2I＝90°，所以1ID⊥2ID，1113IE325DIsinADIsin455.同理，可求得24IF5，242DI5.所以1I2I＝2212DIDI2.FEI1I2DBAC4．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.（2009）解因为BN是∠ABC的平分线，所以ABNCBN.又因为CH⊥AB，所以CQNBQH90ABN90CBNCNB，因此CQNC.又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以CFB90CHB，因此C、F、H、B四点共圆.又FBH=FBC，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.5、已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.（2010）证明过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.6．如图，在四边形ABCD中，已知60BAD，90ABC，120BCD，对角线BDAC,交于点S，且SBDS2，P为AC的中点．求证：（1）30PBD；（2）DCAD．（2011）证明（1）由已知得90ADC，从而DCBA,,,四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心．作BDPM于点M，知M为BD的中点，所以BPM＝FQEPHNMACBNQIPCAMBNMSDCPAB12BPD＝60A，从而30PBM．（2）作BPSN于点N，则12SNSB．又BDMBDMSBDS21,2，∴SNSBSBSBDMDSMS21232，∴Rt△PMS≌Rt△PNS，∴30NPSMPS，又PBPA，所以1152PABNPS，故DCADAC45，所以DCAD．7．如图，已知P为锐角△ABC内一点，过P分别作ABACBC,,的垂线，垂足分别为FED,,，BM为ABC的平分线，MP的延长线交AB于点N．如果PFPEPD，求证：CN是ACB的平分线．（2011）证明如图1，作BCMM1于点1M，ABMM2于点2M，BCNN1于点1N，ACNN2于点2N．设NMNP，∵11////MMPDNN，∴111MNDN．若11MMNN，如图2，作1MMNH，分别交PDMM,1于点1,HH，则△1NPH∽△NMH，∴NMNPMHPH1，∴MHPH1，∴111NNMHHHPHPD11111)1()(NNMMNNNNMM．若11MMNN，则1111)1(NNMMMMNNPD．N2N1M1M2DEFNMCBAPH1HN1M1DNMP若11MMNN，同理可证11)1(NNMMPD．∵2//NNPE，∴12NMPMNNPE，∴2)1(NNPE．∵2//MMPF，∴NMNPMMPF2，∴2MMPF．又PFPEPD，∴2211)1()1(NNMMNNMM．又因为BM是ABC的平分线，所以12MMMM，∴21)1()1(NNNN．显然1，即01，∴21NNNN，∴CN是ACB的平分线．8．如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：2ADBDCD.（2012）证明：连接OA，OB，OC.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得2PAPDPO，2ADPDOD.又由切割线定理可得2PAPBPC，∴PBPCPDPO，∴D、B、C、O四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴PDBDCDOD，∴2ADPDODBDCD.DPOABC