2007年1月数学物理方法考题a(答案)

学院系别姓名学号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第1页共5页电子科技大学二零零五至二零零六学年第一学期期末数学物理方法课程考试题（分钟）考试形式：考试日期2007年月日一二三四五六七八九十总分评卷教师一、填空（5*4=20分）1、定解问题20,(,0)(,0)0,(,0)1ttxxtuauxtuxux的解为(,)_________________.uxtt2、确定下列本征值问题()()0(0)0,()0XxXxXXl的本征值＝222(21),0,1,24kkl，本征函数()Xx＝(21)sin,0,1,22kxkl3、贝塞尔方程：22222dd()0ddyyxxxmyxx（式中m为整数）的通解为：()()()mmyxAIxBKx。4、积分：1101001()()PxPxdx［0］。二、长为l的杆，一端固定，另一端受力F0而伸长，求解放手后杆的振动。（15分）解：定解问题为：2000000(0)|,|0(,0),(0);(,0)0ttxxxxxlxxtuauxluuFFxuuxdxdxxluxxYSYS（6分）本题既有第一类边界条件，也有第二类边界条件，令()()uXxTt，代入泛定方程分离变量学院系别姓名学号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第2页共5页得：2'''00(0)()0TaTXXXXl，（2分）0时才有有意义的解12cossinXcxcx，再利用边界条件得：11(),0,1,2,...22lnnn，所以22221()(1/2)2()sinnnnXxcxll将本征值代入关于T的微分方程得：''1/21/2()cossinnnnnnTtAatBatll（2分）所以''211/21/21/2(,)(cossin)sinnnnnnnuxtAatBatcxlll（2分）利用初始条件(,0)0tux，可得0nB再利用初始条件0(,0)FxuxYS，可解得0222(1)1()2nnFlAYSn（1分）所以：02208(1)(1/2)(1/2)(,)cossin(21)nnlFnatnxuxtYSnll（2分）三、长为l的均匀细弦，两端固定于0,xxl处，弦中的张力为T0，在x=h点处，以横向力F0拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出其初始条件：（10分）解：设弦在x=h处收到横向力作用后发生的位移为y，则弦的初始位移如图所示：由两条直线的方程给出：0,0|(),tyxxhhuylxhxllh（5分）其中y为待求量，又设h的左右两边的弦中的张力分别为T1,T2,由牛顿定律得：011222211sinsin0coscos0FTTTT（5分）学院系别姓名学号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第3页共5页其中的T1,T2,a1,a2均为辅助量，只要找出其和已知量及h的关系，并代入上式，就可求得y.作微小振动近似，可得：00()FhlhyTl（2分）所以可得：00000(),0|(),tFlhxxhTluFhlxhxlTl（3分）四、求定解问题2(,0)(,0)(,0)sinttxxtuauxatxtuxxuxx（15分）（每个公式5分）学院系别姓名学号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第4页共5页五、在上半空间0z内求解拉普拉斯方程的第一边值问题（10分）00,(0)|(,)xxyyzzzuuuzuxy【解】构建格林函数000(,,,,,)Gxyzxyz满足0000()()()|0zGxxyyzzG（3分）根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为00111(,)4π||4π||Grrrrrr即有022222200000011(,)4π()()()4π()()()Gxxyyzzxxyyzzrr（3分）为了把0(,)Grr代入拉普拉斯第一边值问题的解的公式，需要先计算000|zGn即为000|zGz，因为边界外法线方向n为负z轴方向．（3分）0000002220000022200002223/200||11[()4π()()()1+()]|()()()1=2π[()()]zzzGGnzzxxyyzzzxxyyzzzxxyyz（3分）代入（14.2.22）即得到00002223/200(,)(,,)dd2π[()()]gxyzuxyzxyxxyyz（3分）六、（15分）1、已知P0(x)=1,P1(x)=x,P2(x)=21(31)2x,将函数21()352fxxx按勒让德多项式Pn(x)展开。解：令001122()fxCPCPCP（2分）220121135(31)22xxCCxCxyzx0000(,,)Mxyz1000(,,)Mxyz(,,)Mxyz图14.1学院系别姓名学号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第5页共5页所以21012,5,2CCC（2分）0121()()5()2()2fxPxPxPx（1分）2、利用特殊函数的有关性质，计算下列积分：300()axJxdx解：11[()]()nnnndxJxxJxdx322001000()[()][()]aaadxJxdxxxJxdxxxJxdxdx（2分）321010[()]2()aaxJxxJxdx（1分）323212120()2()()2()aaJaxJxdxaJaaJa（2分）