2007年7月全国自考复变函数与积分变换的试卷及答案

页中国自考人()——700门自考课程永久免费、完整在线学习快快加入我们吧！全国2007年7月自考复变函数与积分变换答案课程代码：02199一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.z=2-2i，|z2|=（=|z|2）DA.2B.8C.4D.82.复数方程z=cost+isint的曲线是（B）A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线3.Re(e2x+iy)=（A）A.e2xB.eyC.e2xcosyD.e2xsiny4.下列集合为有界单连通区域的是（C）A.0|z-3|2B.Rez3C.|z+a|1D.argz215.设f(z)=x3-3xy2+(ax2y-y3)i在Z平面上解析，则a=（ux=vy）DA.-3B.1C.2D.36.若f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在Z平面上解析，v(x,y)=ex(ycosy+xsiny)，则u(x，y)=（D）A.ex(ycosy-xsiny)B.ex(xcosy-xsiny)C.ex(ycosy-ysiny)D.ex(xcosy-ysiny)7.3|iz|zdz=（D）A.0B.2πC.πiD.2πi8.11212zzsinzdz|z|=（|1|1sinzdz(z3)(z4)z）AA.0B.2πisin19.302dzzcosz=（3201sinz2）AA.21sin9B.21cos9C.cos9D.sin910.若f(z)=tgz，则Res[f(z)，2]=（一级极点）CA.-2πB.-πC.-1D.011.f(z)=2i)z(zcosz在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（B）A.0B.1C.2D.312.z=0为函数cosz1的（A）A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点13.f(z)=)z)(z(121在0|z-2|1内的罗朗展开式是（=11221zzD）D[排除法可去掉AB]A.01nnnz)(B.021nnz)z(C.02nn)z(D.0121nnn)z()(14.线性变换ω=izzi（=[]izizaeziza）BA.将上半平面Imz0映射为上半平面Imω0B.将上半平面Imz0映射为单位圆|ω|1C.将单位圆|z|1映射为上半平面Imω0D.将单位圆|z|1映射为单位圆|ω|115.函数f(t)=t的傅氏变换J[f(t)]为页（12()[()]()()1[]2()wFtftiFwftFtiw微分性（p159））CA.δ(ω)B.2πiδ(ω)C.2πi(ω)D.(ω)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。16.若z1=e1+iπ,z2=3+i，则z1·z2=(cossin)(3)(3)3eiiieieei.17.若cosz=0，则z=___2k_____.18.设f′(z)=L)z(fL)|z(|，则｜：｜，　　55dζz)(cose2________.()2ecos2(ecosz)()2ecosz+Czzzfziifzi19.幂级数1nnnzn!n的收敛半径是_____e___.11(1)!(1)11(1)!(1)(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnn20.线性映射ω=z是关于_____x轴___的对称变换.三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)21.计算复数z=327的值.(0,1,2)3333,(0)2233,(1)3333,(2)22kiiiiizeekeikekeik22.已知调和函数v=arctgxy,x0，求f′(z)，并将它表示成z的函数形式.222222222222(,)1,11()1()ln||xyxxyxyvxyarctgxyyxxxvvxyxyyyxxxyfzuivvivixyxyxiyzfzzCzzzz解：23.设f(z)=x2+axy+by2+i(-x2+2xy+y2)为解析函数，试确定a，b的值.2222,222222221xyyxuxaxybyvxxyyuvxayxyauvaxbyxyb24.求积分I=Cdzzi的22值，其中C：|z|=4为正向.Ci为被积函数在内的奇点，如右图25.求积分I=Czdz)iz(e的42值，其中C：|z|=2为正向.2422211(cossin)3!3322()2izzCizizCeiiiIdzeeiiz为被积函数在内唯一的奇点，26.利用留数计算积分I=Czsinzdz，其中C为正向圆周|z|=1.2200001()0zsinzsin00sin000sin0sinsincoslim[()]limsincos(cossin)limlim02sincos2cosdz20zsinzzzzzCfzCzzzzorzzorzkzzzzzzzzzfzzzzzzzzzzi在内以为二级极点，又为的一级零点的二级零点Res[f(z),0]=027.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z的泰勒级数.0()ln(3)ln[3(1)]ln3ln(1)ln333nzzfzz(z)=22zz在圆环域0|z|2内展开为罗朗级数.1000||21221111()(1)()22212nnnnnnzzzfzzzzzzz四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。每小题10分，共20分)29．（1）求f(z)=izezz21在上半平面的所有孤立奇点；z=i(一级极点)（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；12e（3）利用以上结果计算积分I=xdx1xsinx2.【注：实函的积分结果一定是实数，不会是虚数】x11122xexsinxd2d1x21xexieixe30.设D是Z平面上的带形区域：1Rez1+π，求下列保角映射：（1）ω1=f1(z)把D映射成ω1平面上的带形区域D1：0Reω1π；11wz（2）ω2=f2(ω1)把D1映射成ω2平面上的带形区域D2：0Imω2π；2211iwewiw（3）ω=f3(ω2)把D2映射成ω平面上的上半平面D3：Imω0；2wwe（4）综合以上三步，求把D映射成D3的保角映射ω=f(z).(1)izwe31.(1)求et的拉氏变换L[et];(2)设F（p）=L[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L[y′(t)]、L[y″(t)]存在，且y(0)=0，y′(0)=0，求L[y′(t)]、L[y″(t)];(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：.)(y,)(yeyyyt00002中国自考人()——改写昨日遗憾创造美好明天！用科学方法牢记知识点顺利通过考试！21()2()()1pYppYpYpp解：原方程两边取拉氏变换后，得