2007年全国初中数学竞赛

初数复赛试题第1页（共6页）2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2007年4月1日下午1：00—3：00）题号一二三总分1－67－1213141516得分评卷人复查人答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．若3210xxx，则2627xx+…+xx11+…+2726xx的值是（）（A）1（B）0（C）-1（D）22．定义：定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD如图，AB=14cm，BC=12cm，⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与⊙K的距离为（）（A）4cm（B）8cm（C）10cm（D）12cm3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．如果令号同学当选．号同学不同意第，第号同学当选，号同学同意第，第，jijiaji01其中i=1，2，…，50；j=1，2，…，50．则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（）（A）2111，，aa+…+250150501，，，aaa…+5050，a（B）1211，，aa+…+502501150，，，aaa…+5050，a（C）50111，，aa+50212，，aa+…+5050150，，aa（D）15011，，aa+25021，，aa+…+5050501，，aa得分评卷人ADBC（第2题）KEFG初数复赛试题第2页（共6页）4．若abctbccaab，则一次函数2ytxt的图象必定经过的象限是（）（A）第一、二象限（B）第一、二、三象限（C）第二、三、四象限（D）第三、四象限5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)无穷多个6．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=26，那么AC的长等于()(A)12(B)16(C)43(D)82二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．函数321xxxy，当x=时，y有最小值，最小值等于．8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为．9．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，若AB=6cm，AC=4cm，∠A=60°，则AD的长为cm．10．设，，，321xxx…，2007x为实数，且满足321xxx…2007x=321xxx…2007x=321xxx…2007x=…=321xxx…20072006xx=1，则2000x的值是．11．正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．正整数M的个位上的数字与数20152013的个位上的数字相同，把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N．若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于．得分评卷人ABCEFO（第6题）（第9题）ABCD初数复赛试题第3页（共6页）三、解答题（共4小题，满分54分）13．（本题满分12分）已知二次函数2yaxbxc的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且acb．（1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y=3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求△ABC的面积．14．（本题满分12分）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN．得分评卷人得分评卷人BACMNPEFQDG初数复赛试题第4页（共6页）15．（本题满分14分）2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为1P，2P，3P，…，2007P．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．16．（本题满分16分）从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数，（1）求证：当n=1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017．（2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．得分评卷人得分评卷人初数复赛试题第5页（共6页）2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．答案：C解：由3210xxx，得1x，所以2627xx+…+xx11+…+2726xx=-1．2．答案：A解：连结AK、EK，设AK与⊙O的交点为H，则AH即为所求，因为AK=22AEEK=10，所以AH=4．3．答案：C解：由题意得C正确．4．答案：A解：由已知可得tcbacba)(2，当0abc时，12t，1124yx，直线过第一、二、三象限；当0abc时，1t，1yx，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限．5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,ab(ab)，则2212ababkab（a,b,k均为正整数），化简，得(4)(4)8kakb，所以4148kakb或4244kakb．解得1512kab或234kab或.8,6,1bak即有3组解．6．答案：B解：在AC上取一点G，使CG=AB=4，连接OG，则△OGC≌△OAB，所以OG=OA=26，∠AOG=90°，所以△AOG是等腰直角三角形，AG=12，所以AC=16．ADBC（第2题）KEFGHABCEFOG（第6题）初数复赛试题第6页（共6页）二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．答案：-2，2解：当x≤-3时，y=-3x-6；当-3＜x≤-2时，y=-x；当-2＜x≤-1时，y=x+4；当x＞-1时，y=3x+6．；所以当x=-2时，y的值最小，最小值为2．8．答案：8个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形．9．答案：5312解：由S△ABC=S△ABD+S△ADC，得60sin21ACAB=30sin2130sin21ACADADAB．解得AD=5312．10．答案：1，或253解：由已知，321xxx…200032120001xxxxx=1，321xxx…199932119991xxxxx=1，解得123200012319991515,22xxxxxxxx．所以12000x，或2000352x．11．答案：238104解：设甲跑完x条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x厘米，乙走了2.91208x厘米，于是．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208xxxx解得328327x．因x是整数，所以x=8，即经过2.98120=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．答案：36解：20152013的个位数字是7，所以可设710kM，其中k是m位正整数，则kNm107．由条件N=4M，得km107=)710(4k，即39)410(7mk．当m=5时，k取得最小值17948．所以T=179487，它的各位数字之和为36．初数复赛试题第7页（共6页）三、解答题（共4题，满分54分）13．(12分)解：（1）由B（0，4）得，c=4．G与x轴的交点A（2ba，0），由条件acb，得bca，所以2ba=22c，即A（2，0）．所以4,4240.baab解得1,4.ab所求二次函数的解析式为244yxx．（2）设图象L的函数解析式为y=3x+b，因图象L过点A（2，0），所以6b，即平移后所得一次函数的解析式为y=36x．令36x=244xx，解得12x，25x．将它们分别代入y=36x，得10y，29y．所以图象L与G的另一个交点为C（5，9）．如图，过C作CD⊥x轴于D，则S△ABC=S梯形BCDO-S△ACD-S△ABO=111(49)53924222=15．ABDCOxy（第13题）初数复赛试题第8页（共6页）14．(12分)证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形．∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点，且31OGDG．∵AB∥CD，∴DNANPNMN．∵AD∥CE，∴DNCQPNPQ．∴PNMNPNPQDNANDNCQ=DNCQAN．又OQDN31OGDG，∴OQ=3DN．∴CQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD，AN=AD-DN，于是，AN+CQ=2DN，∴PNMNPNPQDNCQAN=2，即MN+PQ=2PN．15．(14分)解：不能．理由：设继iP点涂成红色后被涂到的点是第j号，则j=2,22007,22007,22007.iiii若i=2007，则j=2007，即除2007P点涂成红色外，其余均没有涂到．若i2007，则2i2007，且2i4014，即2i-20072007，表明2007P点永远涂不到红色．BACMNPEFQDGO初数复赛试题第9页（共6页）16．(16分)解：（1）设123xxx，，，…，1007x是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，每对数记作(m，2009-m)，其中m=1，2，3，…，1004．因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)mmmmmm，，，，，(123mmm，，互不相等)均为123xxx，，，…，1007x中的6个数．其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k，2008-k)，其中k=1，2，…，1003．2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123xxx，，，…，1007x中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)kk，．又在三对数112233(2009)(2009)(2009)mmmmmm，，，，，，(123mmm，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)kk，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)mm，，于是1111200920084017mmkk．（2）不成立．当1006n时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：1003，1004，…，2008，则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=40184017；当1006n时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n个数，其中任何4数之和大于1